Гармонические колебания.

Колебаниями называются процессы, отличающиеся той или иной степенью повторяемости. Колебательное движение и вызываемые им волны очень часто встречаются в природе и технике. Колеблются мосты под действием проходящих по ним поездов, совершает колебания барабанная перепонка уха, вибрируют части зданий, ритмично сокращается сердечная мышца.

Взависимости от физической природы повторяющегося процесса различают колебания: механические, электромагнитные и др.. Мы рассмотрим механические колебания.

Рассмотрим простейшую механическую систему, состоящую из тела (шар) некоторой массы m, нанизанного на стержень, и пружины с жёсткостью k, соединяющей его с неподвижной стеной. Направим ось OX вдоль стержня, а начало координат совместим с центром шара, при условии, что пружина находится в недеформированном состоянии. Сместим шар на расстояние X 0 от положения равновесия (см. рис.1). Тогда со стороны пружины на тело будет действовать упругая сила F=-kX 0 (1). Эта сила, как видно из уравнения (1), пропорциональна смещению и направлена в сторону противоположную смещению. Её называют возвращающей силой. Кроме того, система будет обладать запасом потенциальной энергии
. Если отпустить груз, то под действием упругой силы он станет двигаться к положению равновесия, при этом его потенциальная энергия будет уменьшаться, переходя в кинетическую
, возвращающая сила будет убывать и в положении равновесия станет равной нулю, но тело в положении равновесия не остановиться, а по инерции будет продолжать движение. Его кинетическая энергия будет переходить в потенциальную, возвращающая сила станет расти, но её направление изменится на противоположное. В системе возникнут колебания. При колебательном движении положение тела в каждый данный момент времени характеризуется расстоянием от положения равновесия, которое называется смещением. Среди различных видов колебаний наиболее простой формой является гармоническое колебание, т.е. такое, при котором колеблющаяся величина изменяется в зависимости от времени по закону синуса или косинуса.

1. Незатухающие гармонические колебания.

Пусть на тело массой m действует сила, стремящаяся вернуть его в положение равновесия (возвращающая сила) и пропорциональная смещению от положения равновесия, т.е. сила упругости F УПР = -kX . Если трение отсутствует, тогда уравнение второго закона Ньютона для тела имеет вид:

;
или
.

Обозначим
, получим
. (1)

Уравнение (1) является линейным однородным дифференциальным уравнением 2-го порядка, с постоянными коэффициентами. Решение уравнения (1) будет законом свободных или собственных незатухающих колебаний:

,

где A – величина наибольшего отклонения от положения равновесия, которая называется амплитудой (амплитуда – постоянная, положительная величина);
- фаза колебаний;- начальная фаза.

Графически незатухающие колебания представлены на рис.2:

Т – период колебания (промежуток времени одного полного колебания);
, где - круговая или циклическая частота,
, ν называется частотой колебания.

Чтобы найти скорость материальной точки при гармоническом колебании, нужно взять производную от выражения для смещения:

где
- максимальная скорость (амплитуда скорости). Продифференцировав это выражение, найдём ускорение:

где
- максимальное ускорение.

1. Затухающие гармонические колебания.

В реальных условиях, кроме возвращающей силы в колеблющейся системе будет действовать сила трения (сила сопротивления среды), которая при небольших скоростях пропорциональна скорости движения тела:
, гдеr – коэффициент сопротивления. Если ограничиться учётом возвращающей силы и силы трения, то уравнение движения примет вид:
или
, разделив наm, получим:
, обозначив
,
, получим:
. Это уравнение носит название линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Решение этого уравнения будет законом свободных затухающих колебаний, и будет иметь следующий вид: .

Из уравнения видно, что амплитуда
не является постоянной, а зависит от времени и убывает по экспоненциальному закону. Как и для незатухающих колебаний, величина ω – называется круговой частотой:
, где
- коэффициент затухания;

-начальная фаза.

Графически затухающие колебания представлены на рис.3.

Определим период колебаний
или
, откуда видно, что колебания в системе могут возникать только при условии если сопротивление незначительно
. Период колебаний практически равен
.

С ростом коэффициента затухания, период колебаний увеличивается и при
обращается в бесконечность. Движение перестаёт быть периодическим. Выведенная из положения равновесия система возвращается в состояние равновесия, не совершая колебаний. Такое движение называется апериодическим.

На рис.4 показан один из случаев возвращения системы в положение равновесия при апериодическом движении. В соответствии с указанной кривой спадает заряд на мембранах нервных волокон человека.

Для характеристики скорости затухания колебаний вводится понятие коэффициента затухания
. Найдём время τ, за которое амплитуда колебаний уменьшится вe раз:

, т.е.

откуда βτ=1, следовательно . Коэффициент затухания обратен по величине тому промежутку времени, за который амплитуда уменьшится вe раз. Отношение значений амплитуд, соответствующих моментам времени, отличающихся на период, равное
называют декрементом затухания, а его логарифм – логарифмическим декрементом затухания:

.

Основные величины, формулы и определения

Свободные незатухающие колебания

1. Период Т, частота  и циклическая частота колебаний 

,
,

2. Фаза колебаний , начальная фаза  0

.

3. Уравнения свободных гармонических не затухающих колебаний

где, [x] = м  смещение колеблющегося объекта, [А] = м  амплитуда колебаний.

4. Скорость тела при гармонических колебаниях

.

5. Ускорение тела при гармонических колебаниях

6. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний

.

7. Возвращающая сила, обуславливающая колебательный процесс

,

где m  масса колеблющегося тела.

8. Кинематические характеристики колебательного движения

9. Физический смысл начальной фазы колебаний  0

10. Возвращающая сила при упругих гармонических колебаниях

,

где k  жёсткость или коэффициент квазиупругой силы.

11. Взаимосвязь жёсткости с циклической частой, частотой и периодом колебаний

.

12. Кинетическая энергия колебаний K

,

.

13. Потенциальная энергия колебаний 

,

.

14. Закон сохранения энергии для консервативной квазиупругой силы

15. Процесс перехода энергии при колебаниях из одного вида в другой с частотой 2

16. Среднее значение кинетической и потенциальной <П> энергии

.

17. Дифференциальное уравнение малых колебаний математического маятника sin  

,

,

 момент инерции грузика маятника массой m с длиной нити подвеса относительно оси, проходящей перпендикулярно плоскости качания через точку подвеса,
 циклическая частота колебаний математического маятника.

18. Уравнение колебаний математического маятника

.

19. Период колебаний математического маятника

.

20. Дифференциальное уравнение колебаний физического маятника

,

где J  момент инерции маятника относительно оси, перпендикулярной плоскости качания и проходящей через точку подвеса,  расстояние между точкой подвеса и центром масс маятника.

21. Циклическая частота  малых колебаний физического маятника, когда sin  

.

22. Период малых колебаний физического маятника

,

где
 приведённая длина физического маятника.

24. Дифференциальное уравнение свободных линейных колебаний массы m, соединённой с пружиной жёсткости k

.

25. Период колебаний груза на пружине

.

26. Параметры крутильных колебаний

,

где С  жёсткость упругого элемента крутильного маятника, для однородного стержня

,

где G  модуль сдвига, d  диаметр стержня,  длина стержня.

Затухающие свободные колебания

27. Сила сопротивления, пропорциональная скорости перемещения

,

где r  коэффициент сопротивления.

28. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний

где
 коэффициент затухания,
 циклическая частота собственных незатухающих колебаний.

29. Уравнение затухающих колебаний

где  0  частота собственных колебаний.

30. Графическое представление затухающих колебаний

31. Период затухающих колебаний

.

.

33. Логарифмический декремент 

.

34. Добротность колебательной системы Q

,

где N e  число полных колебаний за время  = 1/ в течение которого амплитуда A(t) уменьшается в e раз.

35. Энергия затухающих колебаний

.

36. Изменение энергии затухающих колебаний во времени

.

37. Изменение энергии затухающих колебаний при малых значениях коэффициента сопротивления

,

где Е 0  энергия затухающих колебаний в начальный момент времени.

38. Убыль энергии затухающих колебаний в течение одного периода

.

Вынужденные колебания

39. Внешняя периодическая сила, действующая на колебательную систему

,

где F 0  амплитудное значение силы.

40. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний

где
,
,
.

41. Уравнение вынужденных колебаний

,

где
 амплитуда вынужденных колебаний,

 начальная фаза вынужденных колебаний.

42. Уравнение вынужденных колебаний с учётом затухания

43. Резонансная циклическая частота вынужденных колебаний

.

44. Амплитуда резонансных колебаний

.

45. Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы

46. Добротность вынужденных колебаний при малом затухании

,

где
 смещение из положения равновесия при действии постоянной силы F 0 .

47. Процесс установления вынужденных колебаний при  <<  0

48. Процесс установления вынужденных колебаний при  >>  0

49. Установление вынужденных колебаний при  0  

50. Установление вынужденных колебаний при  0   для различных значений добротности колебательной системы

Сложение гармонических колебаний

51. Результат сложения двух (левый рисунок) и трёх колебаний

52. Результат сложения двух колебаний значительно отличающихся по частоте

53. Сложение двух колебаний с одинаковыми частотами, происходящие в одном направлении

,
,

54. Сложение двух колебаний с одинаковыми частотами и одинаковыми амплитудами А 1 = А 2

,
.

55. Сложение двух гармонических колебаний с разными частотами  1 и  2 , происходящими в одном направлении

,

,
,

,

56. Результирующий период при сложении двух колебаний незначительно отличающихся частотами (биения)

.

57. Наложение взаимно перпендикулярных колебаний (фигуры Лиссажу) при отношении частот m: n для различной разности фаз 

Волны в упругой среде

58. Взаимосвязь между фазовой скоростью упругой с волны, её частотой , длиной волны  и периодом Т

.

59. Фазовая скорость упругой поперечной волны в твёрдых телах

,

где F  сила натяжения струны, стержня, проволоки и т.п.,   плотность материала из которого изготовлено тело, s  площадь поперечного сечения.

60. Фазовая скорость продольной волны в твёрдом теле

,

где Е Y  модуль Юнга.

61. Фазовая скорость упругой волны в жидкостях

,

где   сжимаемость жидкости,   плотность жидкости.

62. Фазовая скорость продольной волны в газе при давлении р

,

где   показатель адиабаты,   плотность газа, R  универсальная газовая постоянная, Т  абсолютная температура.

63. Плотность энергии упругой волны

,

где А  амплитуда колебаний частиц среды,   циклическая частота, dЕ  энергия волны в объёме dV.

64. Поток энергии Ф Е, т.е. количество энергии проходящей через площадку s за время 

.

65. Мощность упругой волны

.

66. Интенсивность упругой волны

.

67. Волновое уравнение

,

где   мгновенное поперечное смещение из равновесного положения х, с  фазовая скорость волны.

68. Стоячие волны образуются при распространении двух волн одинаковой амплитуды, длины и частоты, в частности, в упругой среде в противоположных направлениях

,

,

,

где   смещение, А, В  постоянные величины,   длина волны.

Акустические волны

69. Уравнение акустической волны

70. Максимальное значение колебательной скорости

.

71. Эффективное значение колебательной скорости

.

72. Мгновенное значение акустического давления

.

73. Амплитудное значение акустического давления

.

74. Интенсивность (сила звука) акустической волны

75. Уровень акустического давления

,

где J 0 = 10  12 Вт/м 2  стандартный порог слышимости.

76. Эффект Доплера

,

где   частота воспринимаемого звука,  0  частота излучаемого звука, с  скорость звука, u 1  скорость перемещения приёмника, u 2  скорость перемещения излучателя.

Электромагнитные колебания

1. Уравнение колебательного контура

,

где L  индуктивность контура, С  ёмкость контура, q  заряд на обкладках конденсатора, R  активное сопротивление контура,   электродвижущая сила источника тока.формулы ... случайные величины . Основная задача... аналогично уравнению свободных незатухающих колебаний (2) где...

Основной закон электростатики

Закон

Заряд. Основной закон электростатики... частица в свободном колебании . Элементарный... величины : r=R/cosα, dl=rdα/cosα. Подставив в формулу ... незатухающие колебания в контуре. Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются определенной ...

ISBN 5-06-003634-0  ГУП «Издательство «Высшая школа»

Учебное пособие

Скорость вращения. Сопоставим основные величины и уравнения, ... затухания, 0 - циклическая частота свободных незатуха­ющих колебаний той же колебательной системы, т. ... м/с). Какова точность определения координаты электрона? По формуле (215.4), т. ...

Лабораторный практикум (2)

Лабораторная работа

... … , %. Контрольные вопросы 1. Колебания . Свободные колебания . 2. Свободные незатухающие колебания . 3. Уравнения свободных незатухающих колебаний (дифференциальное уравнение и его решение). 4. Величины , характеризующие колебания : амплитуда, частота...

1. 
   Элементы биомеханики 5
2. 
   Механические колебания 14
3. 
   Биофизика слуха. Звук. Ультразвук 17
4. 
   Биофизика кровообращения 21
5. 
   Электрические свойства тканей и органов 28
6. 
   Электрокардиография. Реография 33
7. 
   Основы электротерапии 36
8. 
   Биофизика зрения. Оптические приборы 40

1.9 Тепловое излучение и его характеристики 45

2.0 Рентгеновское излучение 49

2.1 Элементы радиационной физики. Основы дозиметрии 54

3. Диадинамик является одним из наиболее известных аппаратов электротерапии, использующих обезболивающее и спазмолитическое воздействие низкочастотных токов в лечебных целях, например для улучшения кровообращения в организме. Процедура назначается исключительно врачом, продолжительность 3-6 минут (при острых состояниях ежедневно, при хронических заболеваниях 3 раза в неделю 5-6 минут).

Показания: заболевания опорно-двигательного аппарата, в особенности боли в суставах и

Позвоночника

Электросон - метод электротерапии, при котором используются импульсные токи низкой или звуковой частоты (1-130 Гц), прямоугольной формы, малой силы (до2-3 мА) и напряжения (до 50 В), вызывающие при длительном применении сонливость, дремоту, а затем сон различной глубины и продолжительности.
Показания: заболевания внутренних органов (хроническая ишемическая болезнь сердца, гипертоническая болезнь, гипотоническая болезнь, ревматизм, язвенная болезнь желудка и двенадцатиперстной кишки, гипотиреоз, подагра), заболевания нервной системы (атеросклероз сосудов головного мозга в начальной стадии, травматическая церебропатия, гипоталамический синдром, мигрень, неврастения, астенический синдром, маниакально депрессивный психоз, шизофрения).

Амплипульстерапия - один из методов электротерапии, основанный на использовании с лечебно-профилактическими и реабилитационными целями синусоидальных модулированных токов.

Незатухающие гармонические колебания

Гармонические колебания совершаются под действием упругих или квазиупругих (подобные упругим) сил, описываемых законом Гука:

где ^ F – сила упругости;

х – смещение;

k – коэффициент упругости или жесткости.

Согласно ІІ закону Ньютона
, где а – ускорение, а =
.

Разделим уравнение (1) на массу m и введем обозначение
, получим уравнение в виде:

(2).

Уравнение (2) – дифференциальное уравнение незатухающих гармонических колебаний.

Его решение имеет вид: или .
^ Характеристики незатухающих гармонических колебаний:

х – смещение; А – амплитуда; Т – период; – частота; – циклическая частота, – скорость; – ускорение, – фаза; 0 – начальная фаза, Е – полная энергия.

Формулы:

– число колебаний, – время, за которое совершается N колебаний;

, ; или ;

или ;

– фаза незатухающих гармонических колебаний;

– полная энергия гармонических колебаний.

Затухающие гармонические колебания

В реальных системах, участвующих в колебательном движении, всегда присутствуют силы трения (сопротивления):

, – коэффициент сопротивления;
– скорость.

.

Тогда ІІ закон Ньютона запишем:

(2)

Введем обозначения ,
, где – коэффициент затухания.

Уравнение (2) запишем в виде:

(3)

Уравнение (3) – дифференциальное уравнение затухающих колебаний .

Его решение , где

– амплитуда колебаний в начальный момент времени;

– циклическая частота затухающих колебаний.

Амплитуда колебаний изменяется по экспоненциальному закону:

.

Рис. 11. График x = f (t )

Рис. 12. График A t = f (t )

Характеристики:

1)
– период затухающих колебаний; 2) – частота затухающих колебаний; – собственная частота колебательной системы;

3) логарифмический декремент затухания (характеризует скорость убывания амплитуды):
.

^ Вынужденные колебания

Для получения незатухающих колебаний необходимо воздействие внешней силы, работа которой восполняла бы вызванное силами сопротивлений уменьшение энергии колеблющейся системы. Такие колебания называются вынужденными.

Закон изменения внешней силы:
, где – амплитуда внешней силы.

ІІ закон Ньютона запишем в виде

Введем обозначения
.

Уравнение вынужденных колебаний имеет вид:

Решение этого уравнения в установившемся режиме:

,

где

(4)

– частота вынужденных колебаний.

Из формулы (4), когда
, амплитуда достигает максимального значения. Это явление называется резонансом.

^ 1.3 Биофизика слуха. Звук. Ультразвук.

Волна – это процесс распространения колебаний в упругой среде.

Уравнение волны выражает зависимость смещения колеблющейся точки, участвующей в волновом процессе, от координаты ее равновесного положения и времени: S = f (x ; t ).

Если S и X направлены вдоль одной прямой, то волна продольная , если они взаимно перпендикулярны, то волна поперечная.

Уравнение в точке "0" имеет вид
. Фронт волны дойдет до точки "х" с запаздыванием за время
.

Уравнение волны имеет вид
.

Характеристики волны :

S – смещение, А – амплитуда, – частота, Т – период, – циклическая частота, – скорость.

– фаза волны, – длина волны.

Длиной волны называется расстояние между двумя точками, фазы которых в один и тот же момент времени отличаются на
.

^ Фронт волны – совокупность точек имеющих одновременно одинаковую фазу.

Поток энергии равен отношению энергии, переносимой волнами через некоторую поверхность, к времени, в течении которого эта энергия перенесена:

,
.

Интенсивность:
, – площадь,
.

Вектор интенсивности, показывающий направление распространения волн и равный потоку энергии волн через единичную площадь, перпендикулярную этому направлению, называется вектором Умова.

– плотность вещества.
Звуковые волны

Звук – это механическая волна, частота которой лежит в пределах ,
– инфразвук,
– ультразвук.

Различают музыкальные тоны (это монохроматическая волна с одной частотой или состоящая из простых волн с дискретным набором частот – сложный тон).

^ Шум – это механическая волна с непрерывным спектром и хаотически изменяющимися амплитудами и частотами.

Имеет
, при этом
.

. 1 Децибел (дБ) или 1 фон = 0,1 Б.

Зависимость громкости от частоты учитывают с помощью кривых равных громкостей, получаемых экспериментально, и используется для оценки дефектов слуха. Метод измерения остроты слуха называется аудиометрия . Прибор для измерения громкости называется шумомер . Норма громкости звука должна составлять 40 – 60 дБ.

1. Колебания. Периодические колебания. Гармонические колебания.

2. Свободные колебания. Незатухающие и затухающие колебания.

3. Вынужденные колебания. Резонанс.

4. Сопоставление колебательных процессов. Энергия незатухающих гармонических колебаний.

5. Автоколебания.

6. Колебания тела человека и их регистрация.

7. Основные понятия и формулы.

8. Задачи.

1.1. Колебания. Периодические колебания.

Гармонические колебания

Колебаниями называют процессы, отличающиеся той или иной степенью повторяемости.

Повторяющиеся процессы непрерывно происходят внутри любого живого организма, например: сокращения сердца, работа легких; мы дрожим, когда нам холодно; мы слышим и разговариваем благодаря колебаниям барабанных перепонок и голосовых связок; при ходьбе наши ноги совершают колебательные движения. Колеблются атомы, из которых мы состоим. Мир, в котором мы живем, удивительно склонен к колебаниям.

В зависимости от физической природы повторяющегося процесса различают колебания: механические, электрические и т.п. В настоящей лекции рассматриваются механические колебания.

Периодические колебания

Периодическими называют такие колебания, при которых все характеристики движения повторяются через определенный промежуток времени.

Для периодических колебаний используют следующие характеристики:

период колебаний Т, равный времени, в течение которого совершается одно полное колебание;

частота колебаний ν, равная числу колебаний, совершаемых за одну секунду (ν = 1/Т);

амплитуда колебаний А, равная максимальному смещению от положения равновесия.

Гармонические колебания

Особое место среди периодических колебаний занимают гармонические колебания. Их значимость обусловлена следующими причинами. Во-первых, колебания в природе и в технике часто имеют характер, очень близкий к гармоническому, и, во-вторых, периодические процессы иной формы (с другой зависимостью от времени) могут быть представлены как наложение нескольких гармонических колебаний.

Гармонические колебания - это колебания, при которых наблюдаемая величина изменяется во времени по закону синуса или косинуса:

В математике функции этого вида называют гармоническими, поэтому колебания, описываемые такими функциями, тоже называют гармоническими.

Положение тела, совершающего колебательное движение, характеризуется смещением относительно равновесного положения. В этом случае величины, входящие в формулу (1.1), имеют следующий смысл:

х - смещение тела в момент времени t;

А - амплитуда колебаний, равная максимальному смещению;

ω - круговая частота колебаний (число колебаний, совершаемых за 2π секунд), связанная с частотой колебаний соотношением

φ = (ωt +φ 0) - фаза колебаний (в момент времени t); φ 0 - начальная фаза колебаний (при t = 0).

Рис. 1.1. Графики зависимости смещения от времени для х(0) = А и х(0) = 0

1.2. Свободные колебания. Незатухающие и затухающие колебания

Свободными или собственными называются такие колебания, которые происходят в системе, предоставленной самой себе, после того как она была выведена из положения равновесия.

Примером могут служить колебания шарика, подвешенного на нити. Для того чтобы вызвать колебания, нужно либо толкнуть шарик, либо, отведя в сторону, отпустить его. При толчке шарику сообщается кинетическая энергия, а при отклонении - потенциальная.

Свободные колебания совершаются за счет первоначального запаса энергии.

Свободные незатухающие колебания

Свободные колебания могут быть незатухающими только при отсутствии силы трения. В противном случае первоначальный запас энергии будет расходоваться на ее преодоление, и размах колебаний будет уменьшаться.

В качестве примера рассмотрим колебания тела, подвешенного на невесомой пружине, возникающие после того, как тело отклонили вниз, а затем отпустили (рис. 1.2).

Рис. 1.2. Колебания тела на пружине

Со стороны растянутой пружины на тело действует упругая сила F, пропорциональная величине смещения х:

Постоянный множитель k называется жесткостью пружины и зависит от ее размеров и материала. Знак «-» указывает, что сила упругости всегда направлена в сторону, противоположную направлению смещения, т.е. к положению равновесия.

При отсутствии трения упругая сила (1.4) - это единственная сила, действующая на тело. Согласно второму закону Ньютона (ma = F):

После переноса всех слагаемых в левую часть и деления на массу тела (m) получим дифференциальное уравнение свободных колебаний при отсутствии трения:

Величина ω 0 (1.6) оказалась равной циклической частоте. Эту частоту называют собственной.

Таким образом, свободные колебания при отсутствии трения являются гармоническими, если при отклонении от положения равновесия возникает упругая сила (1.4).

Собственная круговая частота является основной характеристикой свободных гармонических колебаний. Эта величина зависит только от свойств колебательной системы (в рассматриваемом случае - от массы тела и жесткости пружины). В дальнейшем символ ω 0 всегда будет использоваться для обозначения собственной круговой частоты (т.е. частоты, с которой происходили бы колебания при отсутствии силы трения).

Амплитуда свободных колебаний определяется свойствами колебательной системы (m, k) и энергией, сообщенной ей в начальный момент времени.

При отсутствии трения свободные колебания, близкие к гармоническим, возникают также и в других системах: математический и физический маятники (теория этих вопросов не рассматривается) (рис. 1.3).

Математический маятник - небольшое тело (материальная точка), подвешенное на невесомой нити (рис. 1.3 а). Если нить отклонить от положения равновесия на небольшой (до 5°) угол α и отпустить, то тело будет совершать колебания с периодом, определяемым по формуле

где L - длина нити, g - ускорение свободного падения.

Рис. 1.3. Математический маятник (а), физический маятник (б)

Физический маятник - твердое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси. На рисунке 1.3 б схематически изображен физический маятник в виде тела произвольной формы, отклоненного от положения равновесия на угол α. Период колебаний физического маятника описывается формулой

где J - момент инерции тела относительно оси, m - масса, h - расстояние между центром тяжести (точка С) и осью подвеса (точка О).

Момент инерции - это величина, зависящая от массы тела, его размеров и положения относительно оси вращения. Вычисляется момент инерции по специальным формулам.

Свободные затухающие колебания

Силы трения, действующие в реальных системах, существенно изменяют характер движения: энергия колебательной системы постоянно убывает, и колебания либо затухают, либо вообще не возникают.

Сила сопротивления направлена в сторону, противоположную движению тела, и при не очень больших скоростях пропорциональна величине скорости:

График таких колебаний представлен на рис. 1.4.

В качестве характеристики степени затухания используют безразмерную величину, называемую логарифмическим декрементом затухания λ.

Рис. 1.4. Зависимость смещения от времени при затухающих колебаниях

Логарифмический декремент затухания равен натуральному логарифму отношения амплитуды предыдущего колебания к амплитуде последующего колебания.

где i - порядковый номер колебания.

Нетрудно видеть, что логарифмический декремент затухания находится по формуле

Сильное затухание. При

выполнении условия β ≥ ω 0 система возвращается в положение равновесия, не совершая колебаний. Такое движение называется апериодическим. На рисунке 1.5 показаны два возможных способа возвращения в положение равновесия при апериодическом движении.

Рис. 1.5. Апериодическое движение

1.3. Вынужденные колебания, резонанс

Свободные колебания при наличии сил трения являются затухающими. Незатухающие колебания можно создать с помощью периодического внешнего воздействия.

Вынужденными называются такие колебания, в процессе которых колеблющаяся система подвергается воздействию внешней периодической силы (ее называют вынуждающей силой).

Пусть вынуждающая сила изменяется по гармоническому закону

График вынужденных колебаний представлен на рис. 1.6.

Рис. 1.6. График зависимости смещения от времени при вынужденных колебаниях

Видно, что амплитуда вынужденных колебаний достигает установившегося значения постепенно. Установившиеся вынужденные колебания являются гармоническими, а их частота равна частоте вынуждающей силы:

Амплитуда (А) установившихся вынужденных колебаний находится по формуле:

Резонансом называется достижение максимальной амплитуды вынужденных колебаний при определенном значении частоты вынуждающей силы.

Если условие (1.18) не выполнено, то резонанс не возникает. В этом случае при увеличении частоты вынуждающей силы амплитуда вынужденных колебаний монотонно убывает, стремясь к нулю.

Графическая зависимость амплитуды А вынужденных колебаний от круговой частоты вынуждающей силы при разных значениях коэффициента затухания (β 1 > β 2 > β 3) показана на рис. 1.7. Такая совокупность графиков называется резонансными кривыми.

В некоторых случаях сильное возрастание амплитуды колебаний при резонансе является опасным для прочности системы. Известны случаи, когда резонанс приводил к разрушению конструкций.

Рис. 1.7. Резонансные кривые

1.4. Сопоставление колебательных процессов. Энергия незатухающих гармонических колебаний

В таблице 1.1 представлены характеристики рассмотренных колебательных процессов.

Таблица 1.1. Характеристики свободных и вынужденных колебаний

Энергия незатухающих гармонических колебаний

Тело, совершающее гармонические колебания, обладает двумя видами энергии: кинетической энергией движения Е к = mv 2 /2 и потенциальной энергией Е п, связанной с действием упругой силы. Известно, что при действии упругой силы (1.4) потенциальная энергия тела определяется формулой Е п = кх 2 /2. Для незатухающих колебаний х = А cos(ωt), а скорость тела определяется по формуле v = - А ωsin(ωt). Отсюда получаются выражения для энергий тела, совершающего незатухающие колебания:

Полная энергия системы, в которой происходят незатухающие гармонические колебания, складывается из этих энергий и остается неизменной:

Здесь m - масса тела, ω и A - круговая частота и амплитуда колебаний, k - коэффициент упругости.

1.5. Автоколебания

Существуют такие системы, которые сами регулируют периодическое восполнение потерянной энергии и поэтому могут колебаться длительное время.

Автоколебания - незатухающие колебания, поддерживаемые внешним источником энергии, поступление которой регулируется самой колебательной системой.

Системы, в которых возникают такие колебания, называются автоколебательными. Амплитуда и частота автоколебаний зависят от свойств самой автоколебательной системы. Автоколебательную систему можно представить следующей схемой:

В данном случае сама колебательная система каналом обратной связи воздействует на регулятор энергии, информируя его о состоянии системы.

Обратной связью называется воздействие результатов какоголибо процесса на его протекание.

Если такое воздействие приводит к возрастанию интенсивности процесса, то обратная связь называется положительной. Если воздействие приводит к уменьшению интенсивности процесса, то обратная связь называется отрицательной.

В автоколебательной системе может присутствовать как положительная, так и отрицательная обратная связь.

Примером автоколебательной системы являются часы, в которых маятник получает толчки за счет энергии поднятой гири или закрученной пружины, причем эти толчки происходят в те моменты, когда маятник проходит через среднее положение.

Примером биологических автоколебательных систем являются такие органы, как сердце, легкие.

1.6. Колебания тела человека и их регистрация

Aнализ колебаний, создаваемых телом человека или его отдельными частями, широко используется в медицинской практике.

Колебательные движения тела человека при ходьбе

Ходьба - это сложный периодический локомоторный процесс, возникающий в результате координированной деятельности скелетных мышц туловища и конечностей. Aнализ процесса ходьбы дает много диагностических признаков.

Характерной особенностью ходьбы является периодичность опорного положения одной ногой (период одиночной опоры) или двух ног (период двойной опоры). В норме соотношение этих периодов равно 4:1. При ходьбе происходит периодическое смещение центра масс (ЦМ) по вертикальной оси (в норме на 5 см) и отклонение в сторону (в норме на 2,5 см). При этом ЦМ совершает движение по кривой, которую приближенно можно представить гармонической функцией (рис. 1.8).

Рис. 1.8. Вертикальное смещение ЦМ тела человека во время ходьбы

Сложные колебательные движения при поддержании вертикального положения тела.

У человека, стоящего вертикально, происходят сложные колебания общего центра масс (ОЦМ) и центра давления (ЦД) стоп на плоскость опоры. На анализе этих колебаний основана статокинезиметрия - метод оценки способности человека сохранять вертикальную позу. Посредством удержания проекции ОЦМ в пределах координат границы площади опоры. Данный метод реализуется с помощью стабилометрического анализатора, основной частью которого является стабилоплатформа, на которой в вертикальной позе находится испытуемый. Колебания, совершаемые ЦД испытуемого при поддержании вертикальной позы, передаются стабилоплатформе и регистрируются специальными тензодатчиками. Сигналы тензодатчиков передаются на регистрирующее устройство. При этом записывается статокинезиграмма - траектория перемещения ЦД испытуемого на горизонтальной плоскости в двумерной системе координат. По гармоническому спектру статокинезиграммы можно судить об особенностях вертикализации в норме и при отклонениях от нее. Данный метод позволяет анализировать показатели статокинетической устойчивости (СКУ) человека.

Механические колебания сердца

Существуют различные методы исследования сердца, в основе которых лежат механические периодические процессы.

Баллистокардиография (БКГ) - метод исследования механических проявлений сердечной деятельности, основанный на регистрации пульсовых микроперемещений тела, обусловленных выбрасыванием толчком крови из желудочков сердца в крупные сосуды. При этом возникает явление отдачи. Тело человека помещают на специальную подвижную платформу, находящуюся на массивном неподвижном столе. Платформа в результате отдачи приходит в сложное колебательное движение. Зависимость смещения платформы с телом от времени называется баллистокардиограммой (рис. 1.9), анализ которой позволяет судить о движении крови и состоянии сердечной деятельности.

Апекскардиография (AKГ) - метод графической регистрации низкочастотных колебаний грудной клетки в области верхушечного толчка, вызванных работой сердца. Регистрация апекскардиограммы производится, как правило, на многоканальном электрокарди-

Рис. 1.9. Запись баллистокардиограммы

ографе при помощи пьезокристаллического датчика, являющегося преобразователем механических колебаний в электрические. Перед записью на передней стенке грудной клетки пальпаторно определяют точку максимальной пульсации (верхушечный толчок), в которой и фиксируют датчик. По сигналам датчика автоматически строится апекскардиограмма. Проводят амплитудный анализ АКГ - сравнивают амплитуды кривой при разных фазах работы сердца с максимальным отклонением от нулевой линии - отрезок ЕО, принимаемый за 100%. На рисунке 1.10 представлена апекскардиограмма.

Рис. 1.10. Запись апекскардиограммы

Кинетокардиография (ККГ) - метод регистрации низкочастотных вибраций стенки грудной клетки, обусловленных сердечной деятельностью. Кинетокардиограмма отличается от апекскардиограммы: первая фиксирует запись абсолютных движений грудной стенки в пространстве, вторая регистрирует колебания межреберий относительно ребер. В данном методе определяются перемещение (ККГ х), скорость перемещения (ККГ v) а также ускорение (ККГ а) для колебаний грудной клетки. На рисунке 1.11 представлено сопоставление различных кинетокардиограмм.

Рис. 1.11. Запись кинетокардиограмм перемещения (х), скорости (v), ускорения (а)

Динамокардиография (ДКГ) - метод оценки перемещения центра тяжести грудной клетки. Динамокардиограф позволяет регистрировать силы, действующие со стороны грудной клетки человека. Для записи динамокардиограммы пациент располагается на столе лежа на спине. Под грудной клеткой находится воспринимающее устройство, которое состоит из двух жестких металлических пластин размером 30x30 см, между которыми расположены упругие элементы с укрепленными на них тензодатчиками. Периодически меняющаяся по величине и месту приложения нагрузка, действующая на воспринимающее устройство, слагается из трех компонент: 1) постоянная составляющая - масса грудной клетки; 2) переменная - механический эффект дыхательных движений; 3) переменная - механические процессы, сопровождающие сердечное сокращение.

Запись динамокардиограммы осуществляют при задержке дыхания исследуемым в двух направлениях: относительно продольной и поперечной оси воспринимающего устройства. Сравнение различных динамокардиограмм показано на рис. 1.12.

Сейсмокардиография основана на регистрации механических колебаний тела человека, вызванных работой сердца. В этом методе с помощью датчиков, установленных в области основания мечевидного отростка, регистрируется сердечный толчок, обусловленный механической активностью сердца в период сокращения. При этом происходят процессы, связанные с деятельностью тканевых механорецепторов сосудистого русла, активирующихся при снижении объема циркулирующей крови. Сейсмокардиосигнал формирует форма колебаний грудины.

Рис. 1.12. Запись нормальной продольной (а) и поперечной (б) динамокардиограмм

Вибрация

Широкое внедрение различных машин и механизмов в жизнь человека повышает производительность труда. Однако работа многих механизмов связана с возникновением вибраций, которые передаются человеку и оказывают на него вредное влияние.

Вибрация - вынужденные колебания тела, при которых либо все тело колеблется как единое целое, либо колеблются его отдельные части с различными амплитудами и частотами.

Человек постоянно испытывает различного рода вибрационные воздействия в транспорте, на производстве, в быту. Колебания, возникшие в каком-либо месте тела (например, руке рабочего, держащего отбойный молоток), распространяются по всему телу в виде упругих волн. Эти волны вызывают в тканях организма переменные деформации различных видов (сжатие, растяжение, сдвиг, изгиб). Действие вибраций на человека обусловлено многими факторами, характеризующими вибрации: частотой (спектр частот, основная частота), амплитудой, скоростью и ускорением колеблющейся точки, энергией колебательных процессов.

Продолжительное воздействие вибраций вызывает в организме стойкие нарушения нормальных физиологических функций. Может возникнуть «вибрационная болезнь». Эта болезнь приводит к ряду серьезных нарушений в организме человека.

Влияние, которое вибрации оказывают на организм, зависит от интенсивности, частоты, длительности вибраций, места их приложения и направления по отношению к телу, позе, а также от состояния человека и его индивидуальных особенностей.

Колебания с частотой 3-5 Гц вызывают реакции вестибулярного аппарата, сосудистые расстройства. При частотах 3-15 Гц наблюдаются расстройства, связанные с резонансными колебаниями отдельных органов (печень, желудок, голова) и тела в целом. Колебания с частотами 11-45 Гц вызывают ухудшение зрения, тошноту, рвоту. При частотах, превышающих 45 Гц, возникают повреждение сосудов головного мозга, нарушение циркуляции крови и т.д. На рисунке 1.13 приведены области частот вибрации, оказывающие вредное действие на человека и системы его органов.

Рис. 1.13. Области частот вредного воздействия вибрации на человека

В то же время в ряде случаев вибрации находят применение в медицине. Например, при помощи специального вибратора стоматолог готовит амальгаму. Использование высокочастотных вибрационных аппаратов позволяет высверлить в зубе отверстие сложной формы.

Вибрация используется и при массаже. При ручном массаже массируемые ткани приводятся в колебательное движение при помощи рук массажиста. При аппаратном массаже используются вибраторы, в которых для передачи телу колебательных движений служат наконечники различной формы. Вибрационные аппараты подразделяются на аппараты для общей вибрации, вызывающие сотрясение всего тела (вибрационные «стул», «кровать», «платформа» и др.), и аппараты местного вибрационного воздействия на отдельные участки тела.

Механотерапия

В лечебной физкультуре (ЛФК) используются тренажеры, на которых осуществляются колебательные движения различных частей тела человека. Они используются в механотерапии - форме ЛФК, одной из задач которой является осуществление дозированных, ритмически повторяющихся физических упражнений с целью тренировки или восстановления подвижности в суставах на аппаратах маятникового типа. Основу этих аппаратов составляет балансирующий (от фр. balancer - качать, уравновешивать) маятник, который представляет собой двуплечный рычаг, совершающий колебательные (качательные) движения около неподвижной оси.

1.7. Основные понятия и формулы

Продолжение таблицы

Продолжение таблицы

Окончание таблицы

1.8. Задачи

1. Привести примеры колебательных систем у человека.

2. У взрослого человека сердце делает 70 сокращений в минуту. Определить: а) частоту сокращений; б) число сокращений за 50 лет

Ответ: а) 1,17 Гц; б) 1,84х10 9 .

3. Какую длину должен иметь математический маятник, чтобы период его колебаний был равен 1 секунде?

4. Тонкий прямой однородный стержень длиной 1 м подвешен за конец на оси. Определить: а) чему равен период его колебаний (малых)? б) какова длина математического маятника, имеющего такой же период колебаний?

5. Тело массой 1 кг совершает колебания по закону х = 0,42 cos(7,40t), где t - измеряется в секундах, а х - в метрах. Найти: а) амплитуду; б) частоту; в) полную энергию; г) кинетическую и потенциальную энергии при х = 0,16 м.

6. Оценить скорость, с которой идет человек при длине шага l = 0,65 м. Длина ноги L = 0,8 м; центр тяжести находится на расстоянии H = 0,5 м от ступни. Для момента инерции ноги относительно тазобедренного сустава использовать формулу I = 0,2mL 2 .

7. Каким образом можно определить массу небольшого тела на борту космической станции, если в вашем распоряжении имеются часы, пружина и набор гирь?

8. Амплитуда затухающих колебаний убывает за 10 колебаний на 1/10 часть своей первоначальной величины. Период колебаний Т = 0,4 с. Определить логарифмический декремент и коэффициент затухания.

МЕХАHИЧЕСКИЕ КОЛЕБАHИЯ

Рассмотрим колебания, совершаемые в механических системах.

Колебания – это процессы, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени.

Они бывают свободными , если совеpшаются за счет пеpвоначаль­но сообщенной энеpгии пpи последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему. Свободные колебания могут быть незатухающими и затухающими.

Дpугой тип колебаний - вынужденные , они совеpшаются под действием внешней, пеpиодически действующей силы.

Простейшим видом колебаний являются гармонические . Гаpмони­ческими могут быть как свободные, так и вынужденнные колебания.

Свободные незатухающие колебания

Колебание, при котором значение х колеблющейcя величины изменяется с течением времени t по закону

x = A sin(ω 0 t +a 0) или

x = A сos(ω 0 t + a), (1.1)

называется гармоническим .

В выражениях (1.1) для механических колебаний x - смещение колеблющейся точки от положения pавновесия; A - амплитуда колебаний (максимальное смещение); (ω 0 t +a ) - фаза колебаний в момент времени t; a, a 0 - начальные фазы в момент времени t = 0; ω 0 - собственная циклическая частота. Из сопоставления уpавнений видно, что начальные фазы связаны: a = a 0 - p / 2. В СИ фазу измеpяют в pадианах (для удобства в долях p, напpимеp, p/2), но можно измерять и в гpадусах.

Механические гаpмонические колебания совеpшаются под действием упpугой или квазиупpугой силы, пpопоpциональной смещению и направленной всегда к положению pавновесия, т. е. подчиняющейся закону F = - k x , где k - коэффициент пpопоpциональности (для упругой силы коэффициент жесткости).

Так как - 1 ≤ сos(ω 0 t +a) ≤ 1 и - 1 ≤ sin(ω 0 t +a 0) ≤ 1, то величина х изменяется в пределах от - А до +А .

Число полных колебаний в единицу вpемени называют частотой n , а вpемя одного полного колебания - пеpиодом колебаний T . Пеpиод гаpмонической функции связан с циклической частотой:

T = 2p / ω 0 . (1.2)

Частота по смыслу обpатно пpопоpциональна пеpиоду, поэтому

n = 1/ T, ω 0 = 2pn. (1.3)

Единицей измеpения частоты является геpц (Гц). 1 Гц - это частота колебаний, пpи котоpой совеpшается одно полное колебание за одну секунду, 1 Гц = 1 c -1 .

Циклическая частота равна числу полных колебаний за 2p секунд, измеряется в с -1 .

Период колебаний Т можно определить по графикам (рис. 1.1).

Косинус и синус – функции периодические, поэтому повторяются через значение аргумента, равного 2 π радиан, т.е. через период колебаний фаза изменяется на 2π радиан. Функция x = sin(t ) начинается с нуля, на рис. 1.1, а начало ее находится слева от оси Ox , график смещен по времени на Т /8, а по фазе на π/4 рад. Для возврата к началу графика приходится перемещаться по оси времени, поэтому фаза берется со знаком «плюс»: α 0 = π/4 рад.

Отсчет начальной фазы по закону косинуса (рис. 1.1, б ) делается с «горба» графика, так как функция x = cos(t ) равна единице при t = 0. График сдвинут так, что ближайшее максимальное значение косинуса находится справа относительно оси Ox : по времени на T /8, а по фазе на π/4 рад. Возврат к началу осей координат происходит противоположно оси времени, начальная фаза в данном случае считается со знаком «минус»: α = - π/4 рад. Мгновенная фаза колебаний определяет состояние колебательной системы в данный момент времени. Для точки М (рис. 1.1, б ) в уравнении по закону синуса фаза колебаний равна π радиан, т.к. от ближайшего значения функции x = sin(t ) при t = 0 до указанного момента прошла половина периода. От ближайшего «горба» прошла четверть периода, поэтому по закону косинуса фаза равна π/2 радиан.

Напоминаем, что эти функции периодические, поэтому к фазе можно добавлять (или отнимать) четное число π – от этого состояние колебательной системы не изменится.