Определение [ | ]

X t (⋅) : Ω → R , t ∈ T {\displaystyle X_{t}(\cdot)\colon \Omega \to \mathbb {R} ,\quad t\in T} ,

где T {\displaystyle T} произвольное множество , называется случайной функцией .

Терминология [ | ]

Данная классификация нестрогая. В частности, термин «случайный процесс» часто используется как безусловный синоним термина «случайная функция».

Классификация [ | ]

• Случайный процесс X (t) {\displaystyle X(t)} называется процессом дискретным во времени , если система, в которой он протекает, меняет свои состояния только в моменты времени t 1 , t 2 , … {\displaystyle \;t_{1},t_{2},\ldots } , число которых конечно или счётно. Случайный процесс называется процессом с непрерывным временем , если переход из состояния в состояние может происходить в любой момент времени.
• Случайный процесс называется процессом с непрерывными состояниями , если значением случайного процесса является непрерывная случайная величина. Случайный процесс называется случайным процессом с дискретными состояниями , если значением случайного процесса является дискретная случайная величина:
• Случайный процесс называется стационарным , если все многомерные законы распределения зависят только от взаимного расположения моментов времени t 1 , t 2 , … , t n {\displaystyle \;t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}} , но не от самих значений этих величин. Другими словами, случайный процесс называется стационарным , если его вероятностные закономерности неизменны во времени. В противном случае, он называется нестационарным .
• Случайная функция называется стационарной в широком смысле , если её математическое ожидание и дисперсия постоянны, а АКФ зависит только от разности моментов времени, для которых взяты ординаты случайной функции. Понятие ввёл А. Я. Хинчин .
• Случайный процесс называется процессом со стационарными приращениями определённого порядка, если вероятностные закономерности такого приращения неизменны во времени. Такие процессы были рассмотрены Ягломом .
• Если ординаты случайной функции подчиняются нормальному закону распределения , то и сама функция называется нормальной .
• Случайные функции, закон распределения ординат которых в будущий момент времени полностью определяется значением ординаты процесса в настоящий момент времени и не зависит от значений ординат процесса в предыдущие моменты времени, называются марковскими .
• Случайный процесс называется процессом с независимыми приращениями , если для любого набора t 1 , t 2 , … , t n {\displaystyle t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}} , где n > 2 {\displaystyle n>2} , а t 1 < t 2 < … < t n {\displaystyle t_{1}, случайные величины (X t 2 − X t 1) {\displaystyle (X_{t_{2}}-X_{t_{1}})} , (X t 3 − X t 2) {\displaystyle (X_{t_{3}}-X_{t_{2}})} , … {\displaystyle \ldots } , (X t n − X t n − 1) {\displaystyle (X_{t_{n}}-X_{t_{n-1}})} независимы в совокупности.
• Если при определении моментных функций стационарного случайного процесса операцию усреднения по статистическому ансамблю можно заменить усреднением по времени, то такой стационарный случайный процесс называется эргодическим .
• Среди случайных процессов выделяют импульсные случайные процессы .

Траектория случайного процесса [ | ]

Пусть дан случайный процесс { X t } t ∈ T {\displaystyle \{X_{t}\}_{t\in T}} . Тогда для каждого фиксированного t ∈ T {\displaystyle t\in T} X t {\displaystyle X_{t}} - случайная величина, называемая сечением . Если фиксирован элементарный исход ω ∈ Ω {\displaystyle \omega \in \Omega } , то X t: T → R {\displaystyle X_{t}\colon T\to \mathbb {R} } - детерминированная функция параметра t {\displaystyle t} . Такая функция называется траекто́рией или реализа́цией случайной функции { X t } {\displaystyle \{X_{t}\}} .

Понятие стационарного случайного процесса. Характеристики стационарной случайной функции. Спектральная плотность ССФ. Эргодическое свойство ССФ.

Рассмотрение на примерах свойств ССФ;

Определение КФ и спектральной плотности ССФ;

Рассмотрение свойств стационарного белого шума.

Вопросы

Примеры

Пояснение. Стационарно связанными называются две случайные функции X (t ) и Y (t ) , взаимная корреляционная функция которых зависит только от разности аргументов
:
.

Не всякие две стационарные функции стационарно связаны; две нестационарные функции могут быть стационарно связанными.

Пример 1 . Задана случайная функция
, где- случайная величина, распределенная равномерно в интервале
.

Доказать, что
- стационарная функция.

Решение .

По формуле МО непрерывной случайной величины имеем:

,

т.е.
.

По формуле КФ случайной функции
(см. Тему 10), учитывая, что

МО второго слагаемого равно нулю, поэтому окончательно

Таким образом, МО функции
постоянно при всех значениях аргумента, а КФ зависит только от разности аргументов.

Следовательно,
- стационарная случайная функция.

Пример 2. Заданы две ССФ:
и
, где- случайная величина, распределенная равномерно в интервале (0,2).

Доказать, что заданные функции стационарно связаны.

Решение. В соответствии с решением предыдущего примера
.

По формуле взаимной КФ двух СФ
и
. (см. пример 2, Тема 10) имеем.

МО второго слагаемого равно нулю, поэтому окончательно .

Так как взаимная КФ зависит только от разности аргументов, то функции X (t ) и Y (t ) являются стационарно связанными.

Пример 3. Нормированная спектральная плотность норм
случайной функцииX (t ) постоянна в интервале частот ,и равна нулю вне этого интервала.

Определить нормированную корреляционную функцию случайной функции X (t ).

Решение. Значение норм
при
норм
при
определяется из условия, что площадь, ограниченная кривой
норм
, рана единице.

норм

Далее по формуле Винера – Хинчиа (в действительной форме) определяем нормированную КФ
случайной функцииX(t):

Общие виды функций
и
представлены на рис.1 и рис. 2. Конкретные виды графиков зависят от значений,.

В пределе при
т.е. при
спектр случайной функции обращается в дискретный с одной единственной линией, соответствующей частоте; при этом корреляционная функция обращается в обычную косинусоиду:
.

Замечание. При дискретном спектре с одной линией спектральное разложение ССФ
имеет вид:
, гдеи- некоррелированные случайные величины с МО, равными нулю, и равными дисперсиями:
.

Пример 4. Найти спектральную плотность, ССФ
, если задана её корреляционная функция
.

Решение. По формуле спектральной плоскости ССФ

.

Общие виды функций
и
представлены на рис. 3 и 4.

При уменьшении корреляционная функция будет убывать медленнее; характер изменения случайной функции становится более плавным, в спектре больший «удельной вес» приобретают малые частоты: кривая спектральной плотности вытягивается вверх, сжимаясь с боков; в пределе при
случайная функция выродится в обычную случайную величину с дискретным спектром, состоящим из единственной линии с частотой
.

При увеличении корреляционная функция убывает быстрее, колебания случайной функции становятся более резкими и беспорядочными; в спектре преобладание малых частот становится все менее выраженным; в пределе при
спектр случайной функции приближается к равномерному, так называемому белому спектру, в котором нет преобладания каких – либо частот.

Пример 5. Найти корреляционную функцию стационарного белого шума – стационарной случайной функции с постоянной спектральной плотностью
.

Решение. По формуле Винера – Хинчина

.

Учитывая, что
, где
-дельта функция,

имеем
.

Тогда окончательно
.

Пояснение. Формально дельта – функцией
называется такая функция, которая равна бесконечности, когда её аргумент равен нулю, и равна нулю при остальных значениях аргумента, причем интеграл от дельта – функции, распространенный на сколь угодно малый отрезок, включающий особую точку, равен единице.

Задачи

1. Найти дисперсию ССФ
, зная её спектральную плотность
.

2. Найти спектральную плотность ССФ
, зная её КФ
при
; КФ равна нулю при
.

Тема 12

Стационарные случайные функции(ССФ)

Преобразование стационарной случайной функции стационарной линейной системой.

Практическое занятие включает:

Определение МО, спектральной плотности и дисперсии ССФ на выходе стационарной линейной системы в установившемся режиме.

Вопросы

1. Дайте определение линейного однородного оператора динамической системы. Перечислите его свойства.

2. Приведите примеры линейных однородных операторов.

3. Дайте характеристику стационарной линейной динамической системы.

4. Что называется передаточной функцией и частотной характеристикой линейной динамической системы?

5. Напишите соотношение, связывающее входную и выходную функции спектральной плотности линейной динамической системы.

Примеры

Пример 1. На вход линейной стационарной динамической системы описываемой уравнением , подается ССФ
с
. Найти МО
на выходе системы в установившемся режиме (после затухания переходного процесса).

Решение. , или

Так как X(t) и Y(t) – стационарные функции, а МО производной стационарной функции равно нулю, то 2
, откуда
.

Пример 2 . На вход линейной стационарной динамической системы, описываемой уравнением , подается ССФ
с

Решение. 1). Используя решение примера 4 предыдущего занятия при
и
, получим.

2). Для нахождения передаточной функции запишем заданное дифференциальное уравнение в операторной форме: , или,

Следовательно, передаточная функция .

3). Частотная характеристика системы получается из передаточной функции при
:.

4). Спектральная плотность
на выходе системы определяется по формуле

5). Искомая дисперсия находится по формуле

Представив подынтегральную функцию в виде суммы простейших дробей, имеем

.

Задачи

1. На вход линейной стационарной динамической системы, описываемой уравнением , подается ССФ
с математическим ожиданием
. Найти МО случайной функции
на выходе системы в установившемся режиме.

2. На вход линейной стационарной динамической системы, описываемой уравнением
, поступает ССФ
с постоянной спектральной плотностью(белый шум).

Найти дисперсию случайной функции
на выходе системы в установившемся режиме.

3. На вход линейной стационарной динамической системы с передаточной функцией поступает ССФ Х со спектральной плотностью
. Найти дисперсию случайной функции
на выходе системы в установившемся режиме.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ ОСНОВНЫХ ФУНКЦИЙ

1. .	8. .
2. , .	9. .
3. .	10.
4. .	11. .
5. .	12. .
6. .	13. .
7. .	14. .

Стационарный случайный процесс

важный специальный класс случайных процессов (См. Случайный процесс), часто встречающийся в приложениях теории вероятностей к различным разделам естествознания и техники. Случайный процесс X (t ) называется стационарным, если все его вероятностные характеристики не меняются с течением времени t (так что, например, распределение вероятностей величины X (t ) при всех t является одним и тем же, а совместное распределение вероятностей величин X (t 1 ) и X (t 2 ) зависит только от продолжительности промежутка времени t 2 -t 1 , т. е. распределения пар величин {X (t 1 ), X (t 2 )} и {X (t 1 + s ), X (t 2 + s )} одинаковы при любых t 1 , t 2 и s и т. д.).

Схема С. с. п. с хорошим приближением описывает многие реальные явления, сопровождающиеся неупорядоченными флуктуациями. Так, например, пульсации силы тока или напряжения в электрической цепи (электрический «шум») можно рассматривать как С. с. п., если цепь эта находится в стационарном режиме, т. е. если все её макроскопические характеристики и все условия, вызывающие протекание через неё тока, не меняются во времени; пульсации скорости в точке турбулентного течения представляют собой С. с. п., если не меняются общие условия, порождающие рассматриваемое течение (т. е. течение является установившимся), и т.д. Эти и другие примеры С. с. п., встречающиеся в физике (в частности, гео- и астрофизике), механике и технике, стимулировали развитие исследований в области С. с. п.; при этом существенными оказались также и некоторые обобщения понятия С. с. п. (например, понятия случайного процесса со стационарными приращениями заданного порядка, обобщённого С. с. п. и однородного случайного поля).

В математической теории С. с. п. основную роль играют моменты распределении вероятностей значений процесса X (t ), являющиеся простейшими числовыми характеристиками этих распределений. Особенно важны моменты первых двух порядков: среднее значение С. с. п. EX (t ) = m - математическое ожидание случайной величины X (t ) и корреляционная функция С. с. п. EX (t 1 ) X (t 2 )= B (t 2 -t 1 ) - математическое ожидание произведения X (t 1 ) X (t 2 ) (просто выражающееся через дисперсию величин X (t ) и коэффициент корреляции между X (t 1 ) и X (t 2 ); см. Корреляция). Во многих математических исследованиях, посвященных С. с. п., вообще изучаются только те их свойства, которые полностью определяются одними лишь характеристиками m и В (τ) (т. н. корреляционная теория С. с. п.). В этой связи случайные процессы X (t ), имеющие постоянное среднее значение EX (t ) = m и корреляционную функцию В (t 2 , t 1 ) = EX (t 1 ) X (t 2 ), зависящую только от t 2 - t 1 , часто называют С. с. п. в широком смысле (а более частные случайные процессы, все характеристики которых не меняются с течением времени, в таком случае называются С. с. п. в узком смысле).

Большое место в математической теории С. с. п. занимают исследования, опирающиеся на разложение случайного процесса X (t ) и его корреляционной функции B (t 2 -t 1 ) = В (τ) в интеграл Фурье, или Фурье - Стилтьеса (см. Фурье интеграл). Основную роль при этом играет теорема Хинчина, согласно которой корреляционная функция С. с. п. X (t ) всегда может быть представлена в виде

где F (λ) - монотонно неубывающая функция λ (а интеграл справа - это интеграл Стилтьеса); если же В (τ) достаточно быстро убывает при |τ|→∞ (как это чаще всего и бывает в приложениях при условии, что под X (t ) понимается на самом деле разность X (t ) - m ), то интеграл в правой части (1) обращается в обычный интеграл Фурье:

где f (λ) = F’ (λ) - неотрицательная функция. Функция F (λ) называемая спектральной функцией С. с. п. X (t ), а функция F (λ) [в случаях, когда имеет место равенство (2)] - его спектральной плотностью. Из теоремы Хинчина вытекает также, что сам процесс X (t ) допускает Спектральное разложение вида

где Z (λ) - случайная функция с некоррелированными приращениями, а интеграл справа понимается как предел в среднем квадратичном соответствующей последовательности интегральных сумм. Разложение (3) даёт основание рассматривать любой С. с. п. X (t ) как наложение некоррелированных друг с другом гармонических колебаний различных частот со случайными амплитудами и фазами; при этом спектральная функция F (λ) и спектральная плотность f (λ) определяют распределение средней энергии входящих в состав X (t ) гармонических колебаний по спектру частот λ (в связи с чем в прикладных исследованиях функция f (λ) часто называется также энергетическим спектром или спектром мощности С. с. п. X (t )).

Выделение понятия С. с. п. и получение первых относящихся к нему математических результатов являются заслугой Е. Е. Слуцкого (См. Слуцкий) и относятся к концу 20-х и началу 30-х гг. 20 в. В дальнейшем важные работы по теории С. с. п. были выполнены А. Я. Хинчин ым, А. Н. Колмогоров ым, Г. Крамер ом, Н. Винер ом и др.

Лит.: Слуцкий Е. Е., Избр. тр., М., 1960; Хинчин А. Я., Теория корреляции стационарных стохастических процессов, «Успехи математических наук», 1938, в. 5, с, 42-51; Розанов Ю. А., Стационарные случайные процессы, М., 1963; Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А., Теория вероятностей. (Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы), 2 изд., М., 1973; Гихман И. И., Скороход А. В., Теория случайных процессов, т. 1, М., 1971; Хеннан Э., Многомерные временные ряды, пер. с англ., М., 1974.

А. М. Яглом.

Большая советская энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . 1969-1978 .

Смотреть что такое "Стационарный случайный процесс" в других словарях:

Случайный процесс, определённый для всех моментов времени,стохастич. характеристики к рого не зависят от выбора нач. момента отсчёта(т. е. не меняются при замене Более точно это означает, что для любого набора моментов времени t1,...,tn… … Физическая энциклопедия

важный специальный класс случайных процессов (См. Случайный процесс), часто встречающийся в приложениях теории вероятностей к различным разделам естествознания и техники. Случайный процесс X (t ) называется стационарным, если все его вероятностные характеристики не меняются с течением времени t (так что, например, распределение вероятностей величины X (t ) при всех t является одним и тем же, а совместное распределение вероятностей величин X (t 1 ) и X (t 2 ) зависит только от продолжительности промежутка времени t 2 -t 1 , т. е. распределения пар величин {X (t 1 ), X (t 2 )} и {X (t 1 + s ), X (t 2 + s )} одинаковы при любых t 1 , t 2 и s и т. д.).

Схема С. с. п. с хорошим приближением описывает многие реальные явления, сопровождающиеся неупорядоченными флуктуациями. Так, например, пульсации силы тока или напряжения в электрической цепи (электрический «шум») можно рассматривать как С. с. п., если цепь эта находится в стационарном режиме, т. е. если все её макроскопические характеристики и все условия, вызывающие протекание через неё тока, не меняются во времени; пульсации скорости в точке турбулентного течения представляют собой С. с. п., если не меняются общие условия, порождающие рассматриваемое течение (т. е. течение является установившимся), и т.д. Эти и другие примеры С. с. п., встречающиеся в физике (в частности, гео- и астрофизике), механике и технике, стимулировали развитие исследований в области С. с. п.; при этом существенными оказались также и некоторые обобщения понятия С. с. п. (например, понятия случайного процесса со стационарными приращениями заданного порядка, обобщённого С. с. п. и однородного случайного поля).

В математической теории С. с. п. основную роль играют моменты распределении вероятностей значений процесса X (t ), являющиеся простейшими числовыми характеристиками этих распределений. Особенно важны моменты первых двух порядков: среднее значение С. с. п. EX (t ) = m - математическое ожидание случайной величины X (t ) и корреляционная функция С. с. п. EX (t 1 ) X (t 2 )= B (t 2 -t 1 ) - математическое ожидание произведения X (t 1 ) X (t 2 ) (просто выражающееся через дисперсию величин X (t ) и коэффициент корреляции между X (t 1 ) и X (t 2 ); см. Корреляция). Во многих математических исследованиях, посвященных С. с. п., вообще изучаются только те их свойства, которые полностью определяются одними лишь характеристиками m и В (τ) (т. н. корреляционная теория С. с. п.). В этой связи случайные процессы X (t ), имеющие постоянное среднее значение EX (t ) = m и корреляционную функцию В (t 2 , t 1 ) = EX (t 1 ) X (t 2 ), зависящую только от t 2 - t 1 , часто называют С. с. п. в широком смысле (а более частные случайные процессы, все характеристики которых не меняются с течением времени, в таком случае называются С. с. п. в узком смысле).

Большое место в математической теории С. с. п. занимают исследования, опирающиеся на разложение случайного процесса X (t ) и его корреляционной функции B (t 2 -t 1 ) = В (τ) в интеграл Фурье, или Фурье - Стилтьеса (см. Фурье интеграл). Основную роль при этом играет теорема Хинчина, согласно которой корреляционная функция С. с. п. X (t ) всегда может быть представлена в виде

где F (λ) - монотонно неубывающая функция λ (а интеграл справа - это интеграл Стилтьеса); если же В (τ) достаточно быстро убывает при |τ|→∞ (как это чаще всего и бывает в приложениях при условии, что под X (t ) понимается на самом деле разность X (t ) - m ), то интеграл в правой части (1) обращается в обычный интеграл Фурье:

где f (λ) = F’ (λ) - неотрицательная функция. Функция F (λ) называемая спектральной функцией С. с. п. X (t ), а функция F (λ) [в случаях, когда имеет место равенство (2)] - его спектральной плотностью. Из теоремы Хинчина вытекает также, что сам процесс X (t ) допускает Спектральное разложение вида

где Z (λ) - случайная функция с некоррелированными приращениями, а интеграл справа понимается как предел в среднем квадратичном соответствующей последовательности интегральных сумм. Разложение (3) даёт основание рассматривать любой С. с. п. X (t ) как наложение некоррелированных друг с другом гармонических колебаний различных частот со случайными амплитудами и фазами; при этом спектральная функция F (λ) и спектральная плотность f (λ) определяют распределение средней энергии входящих в состав X (t ) гармонических колебаний по спектру частот λ (в связи с чем в прикладных исследованиях функция f (λ) часто называется также энергетическим спектром или спектром мощности С. с. п. X (t )).

Выделение понятия С. с. п. и получение первых относящихся к нему математических результатов являются заслугой Е. Е. Слуцкого (См. Слуцкий) и относятся к концу 20-х и началу 30-х гг. 20 в. В дальнейшем важные работы по теории С. с. п. были выполнены А. Я. Хинчиным, А. Н. Колмогоровым, Г. Крамером, Н. Винером и др.

Лит.: Слуцкий Е. Е., Избр. тр., М., 1960; Хинчин А. Я., Теория корреляции стационарных стохастических процессов, «Успехи математических наук», 1938, в. 5, с, 42-51; Розанов Ю. А., Стационарные случайные процессы, М., 1963; Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А., Теория вероятностей. (Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы), 2 изд., М., 1973; Гихман И. И., Скороход А. В., Теория случайных процессов, т. 1, М., 1971; Хеннан Э., Многомерные временные ряды, пер. с англ., М., 1974.

А. М. Яглом.

• - ф-ция непрерывного времени,значение к-рой в каждый момент является случайной величиной, т....

  Физическая энциклопедия

• - комплекснозначная случайная функция действительного параметра t, допускающая представление в виде стохастического интеграла где - случайный процесс. Приращения в задают случайные "амплитуду" и "фазу"...

  Математическая энциклопедия

• - стохастический процесс, являющийся измеримым Х=Xt) относительно опциональнойs -алгебры= А. Н. Ширяев...

  Математическая энциклопедия

• - стохастический процесс, являющийся измеримым относительно предсказуемойs -алгебры А. Н. Ширяев...

  Математическая энциклопедия

• - однородный во времени случайный процесс,- случайный процесс X, статистич...

  Математическая энциклопедия

• - случайный процесс, вероятностные характеристики к-рого могут изменяться по ходу наблюдений в зависимости от поставленной цели, заключающейся в минимизации того или иного функционала, определяющего качество...

  Математическая энциклопедия

• - случайный процесс, вероятностные характеристики к-рого не меняются с течением времени...

  Естествознание. Энциклопедический словарь

• - он же вероятностный, или стохастический, процесс изменения во времени состояния или характеристик некоторой системы под влиянием различных случайных факторов...

  Начала современного Естествознания

• - функция 2-х аргументов X= X; - множество элементарных событий, - параметр, обычно интерпретируемый как время. Для каждого tX - функция только ω и представляет собой случайную величину. Для фиксированного ω...

  Геологическая энциклопедия

• - вероятностный, стохастический, - процесс, течение к-рого может быть различным в зависимости от случая и для к-рого существует вероятность того или иного течения...

  Большой энциклопедический политехнический словарь

• - Смотри стационарный процесс...

  Энциклопедический словарь по металлургии

• - функция, которая при изменении параметра времени принимает случайное значение...

  Словарь бизнес терминов

• - процесс, течение которого может быть различным в зависимости от случая и для которого определена вероятность того или иного его течения. Типичным примером С. п. может служить Броуновское движение...
• - важный специальный класс случайных процессов, часто встречающийся в приложениях теории вероятностей к различным разделам естествознания и техники...

  Большая Советская энциклопедия

• - СЛУЧАЙНЫЙ процесс, процесс изменения во времени состояния или характеристик некоторой системы под влиянием различных случайных факторов, для которого определена вероятность того или иного его течения...
• - СТАЦИОНАРНЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ процесс - случайный процесс, вероятностные характеристики которого не меняются с течением времени...

  Большой энциклопедический словарь

"Стационарный случайный процесс" в книгах

6. Случайный инструментарий

Из книги Эволюция: Триумф идеи автора Циммер Карл

6. Случайный инструментарий Изменение и ограничения в эволюции животныхИз всех различий между нами и нашими амебоподобными предками, жившими миллиард лет назад, самое главное состоит в том, что у нас есть тело. Мы состоим не из одной, а из триллионов клеток. И этот

Стационарный фонтан

Из книги Бассейны, пруды и фонтаны. Строительство, эксплуатация, ремонт автора Назарова Валентина Ивановна

Стационарный фонтан Стационарные фонтаны, как правило, более габаритные, чем плавающие, и при их устройстве больше внимания уделяется декоративному оформлению конструкции. Эти агрегаты требуют ровного дна и надежного основания для своего насоса. Если водоем

Выход на стационарный режим

Из книги Инерция страха. Социализм и тоталитаризм автора Турчин Валентин Фёдорович

Выход на стационарный режим Максим испытывал такое отчаяние, словно вдруг обнаружил, что его обитаемый остров населен на самом деле не людьми, а куклами... Перед ним была огромная машина, слишком простая, чтобы эволюционировать, и слишком огромная, чтобы можно было

Стационарный (настенноконсольный) кран

Из книги Большая энциклопедия техники автора Коллектив авторов

Стационарный (настенноконсольный) кран Стационарный (настенно-консольный) кран – устройство для подъема грузов. Может быть поворотным и неповоротным. Грузоподъемность настенно-консольного поворотного крана – около 3 т, вылет стрелы – 3-6 м. Грузоподъемность

1.7. Инфракрасный электронный стационарный детектор движения Swan Quad

Из книги автора

1.7. Инфракрасный электронный стационарный детектор движения Swan Quad Сенсорный, с защитой от срабатывания сигнализации на животных, с 4-импульсным пироэлектрическим оповещением и возможностью включения освещения внутри и вне дома, в комплекте без установочного кронштейна. БСЭ

81. Стационарный процесс. Стационарный временной ряд. Белый шум

Из книги Ответы на экзаменационные билеты по эконометрике автора Яковлева Ангелина Витальевна

81. Стационарный процесс. Стационарный временной ряд. Белый шум Временной ряд называется детерминированным, если значения уровней временного ряда точно определены какой-либо математической функцией, являющейся реализацией исследуемого процесса.Временной ряд

Стационарный компьютер

Из книги Компьютер для тех, кому за… автора Грибова Оксана

Стационарный компьютер Это старый, верный и надежный друг. За ним комфортно работается. К тому же, время от времени можно проводить его апгрейд.На стационарном компьютере может быть большой монитор и здесь очень удобно работать с графикой.Правда, есть у стационарного

Мобильный и стационарный компьютеры. В чем разница?

Из книги 33 лучшие программы для ноутбука [Популярный самоучитель] автора Пташинский Владимир

Мобильный и стационарный компьютеры. В чем разница? Мы уже выяснили, что разница в цене мобильного и стационарного компьютеров весьма сомнительна. Конечно, топовые модели ноутбуков, а также сверхлегкие мобильные компьютеры значительно превосходят по цене настольные

Стационарный

Из книги 36 и 6 правил здоровых зубов автора Сударикова Нина Александровна

Стационарный Его еще часто называют семейным ирригатором. Работает от бытовой электоросети с напряжением 220 вольт. Каждый такой ирригатор выпускается с различным количеством насадок. Лучше покупать ирригатор с насадками для каждого члена семьи. Насадки, как и зубные

Помощь завода флоту. Стационарный электромагнитный трал Сооружение электроподстанции

Из книги Размагничивание кораблей Черноморского флота в годы Великой Отечественной войны автора Панченко Виктор Дмитриевич

Помощь завода флоту. Стационарный электромагнитный трал Сооружение электроподстанции В первые дни июля я ознакомился с проделанной работой по размагничиванию кораблей. Мне хотелось заниматься этим с учеными из ЛФТИ и со специалистами из НТК ВМФ. С некоторыми из них я

На практике очень часто встречаются случайные процессы, протекающие во времени приблизительно однородно и имеющие вид непрерывных случайных колебаний вокруг некоторого среднего значения, причем ни средняя амплитуда, ни характер этих колебаний не обнаруживают существенных изменений с течением времени. Такие случайные процессы называются стационарными.

В качестве примеров стационарных случайных процессов можно привести: 1) колебания самолета на установившемся режиме горизонтального полета; 2) колебания напряжения в электрической осветительной сети; 3) случайные шумы в радиоприемнике; 4) процесс качки корабля и т. п.

Каждый стационарный процесс можно рассматривать как продолжающийся во времени неопределенно долго; при исследовании стационарного процесса в качестве начала отсчета можно выбрать любой момент времени. Исследуя стационарный процесс на любом участке времени, мы должны получить одни и те же его характеристики. Образно выражаясь, стационарный процесс «не имеет ни начала, ни конца».

Примером стационарного случайного процесса может служить изменение высоты центра тяжести самолета на установившемся режиме горизонтального полета (рис. 17.1.1).

В противоположность стационарным случайным процессам можно указать другие, явно нестационарные, случайные процессы, например: колебания самолета в режиме пикирования; процесс затухающих колебаний в электрической цепи; процесс горения порохового заряда в реактивной камере и т. д. Нестационарный процесс характерен тем, что он имеет определенную тенденцию развития во времени; характеристики такого процесса зависят от начала отсчета, зависят от времени.

На рис. 17.1.2 изображено семейство реализаций явно нестационарного случайного процесса - процесса изменения тяги двигателя реактивного снаряда во времени.

Заметим, что далеко не все нестационарные случайные процессы являются существенно нестационарными на всем протяжении своего развития. Существуют нестационарные процессы, которые (на известных отрезках времени и с известным приближением) могут быть приняты за стационарные.

Например, процесс наводки перекрестия авиационного прицела на цель есть явно нестационарный процесс, если цель за короткое время с большой и резко меняющейся угловой скоростью проходит поле зрения прицела. В этом случае колебания оси прицела относительно цели не успевают установиться в некотором стабильном режиме; процесс начинается и заканчивается, не успев приобрести стационарный характер. Напротив, процесс наводки перекрестия прицела па неподвижную или движущуюся с постоянной угловой скоростью цель через некоторое время после начала слежения приобретает стационарный характер.

Вообще, как правило, случайный процесс в любой динамической системе начинается с нестационарной стадии - с так называемого «переходного процесса». После затухания переходного процесса система обычно переходит на установившийся режим, и тогда случайные процессы, протекающие в ней, могут считаться стационарными.

Стационарные случайные процессы очень часто встречаются в физических и технических задачах. По своей природе эти процессы проще, чем нестационарные, и описываются более простыми характеристиками. Линейные преобразования стационарных случайных процессов также обычно осуществляются проще, чем нестационарных. В связи с этим на практике получила широкое применение специальная теория стационарных случайных процессов, или, точнее, теория стационарных случайных функций (так как аргументом стационарной случайной функции в общем случае может быть и не время). Элементы этой теории и будут изложены в данной главе.

Случайная функция называется стационарной, если все ее вероятностные характеристики не зависят от (точнее, не меняются при любом сдвиге аргументов, от которых они зависят, по оси ).

В данном элементарном изложении теории случайных функций мы совсем не пользуемся такими вероятностными характеристиками, как законы распределения: единственными характеристиками, которыми мы пользуемся, являются математическое ожидание, дисперсия и корреляционная функция. Сформулируем определение стационарной случайной функции в терминах этих характеристик.

Так как изменение стационарной случайной функции должно протекать однородно по времени, то естественно потребовать, чтобы для стационарной случайной функции математическое ожидание было постоянным:

. (17.1.1)

Заметим, однако, что это требование не является существенным: мы знаем, что от случайной функции всегда можно перейти к центрированной случайной функции , для которой математическое ожидание тождественно равно нулю и, следовательно, удовлетворяет условию (17.1.1). Таким образом, если случайный процесс нестационарен только за счет переменного математического ожидания, это не мешает нам изучать его как стационарный процесс.

Второе условие, которому, очевидно, должна удовлетворять стационарная случайная функция, - это условие постоянства дисперсии:

. (17.1.2)

Установим, какому условию должна удовлетворять корреляционная функция стационарной случайной функции. Рассмотрим случайную функцию (рис. 17.1.3).

Положим в выражении и рассмотрим - корреляционный момент двух сечений случайной функции, разделенных интервалом времени . Очевидно, если случайный процесс действительно стационарен, то этот корреляционный момент не должен зависеть от того, где именно на оси мы взяли участок , а должен зависеть только от длины этого участка. Например, для участков и на рис. 17.1.3, имеющих одну и ту же длину , значения корреляционной функции и должны быть одинаковыми. Вообще, корреляционная функция стационарного случайного процесса должна зависеть не от положения первого аргумента на оси абсцисс, а только от промежутка между первым и вторым аргументами:

. (17.1.3)

Следовательно, корреляционная функция стационарного случайного процесса есть функция не двух, а всего одного аргумента. Это обстоятельство в ряде случаев сильно упрощает операции над стационарными случайными функциями.

Заметим, что условие (17.1.2), требующее от стационарной случайной функции постоянства дисперсии, является частным случаем условия (17.1.3). Действительно, полагая в формуле (17.1.3) имеем

Таким образом, условие (17.1.3) есть единственное существенное условие, которому должна удовлетворять стационарная случайная функция.

Поэтому в дальнейшем мы под стационарной случайной функцией будем понимать такую случайную функцию, корреляционная функция которой зависит не от обоих своих аргументов и , а только от разности между ними. Чтобы не накладывать специальных условий на математическое ожидание, мы будем рассматривать только центрированные случайные функции.

Мы знаем, что корреляционная функция любой случайной функции обладает свойством симметрии:

.

Отсюда для стационарного процесса, полагая , имеем:

, (17.1.5)

т. е. корреляционная функция есть четная функция своего аргумента. Поэтому обычно корреляционную функцию определяют только для положительных значений аргумента (рис. 17.1.4).

На практике, вместо корреляционной функции , часто пользуются нормированной корреляционной функцией

где - постоянная дисперсия стационарного процесса. Функция есть не что иное, как коэффициент корреляции между сечениями случайной функции, разделенными интервалом по времени. Очевидно, что .

В качестве примеров рассмотрим два образца приблизительно стационарных случайных процессов и построим их характеристики.

Пример 1. Случайная функция задана совокупностью 12 реализаций (рис. 17.1.5).

а) Найти ее характеристики , , и нормированную корреляционную функцию . б) Приближенно рассматривая случайную функцию как стационарную, найти ее характеристики.

Решение. Так как случайная функция меняется сравнительно плавно, можно брать сечения не очень часто, например через 0,4 сек. Тогда случайная функция будет сведена к системе семи случайных величин, отвечающих сечениям . Намечая эти сечения на графике и снимая с графика значения случайной функции в этих сечениях, получим таблицу (табл. 17.1.1).

Таблица 17.1.1

№ реализации

На графике рис. 17.1.5 математическое ожидание показано жирной линией.

Далее находим оценки для элементов корреляционной матрицы: дисперсий и корреляционных моментов. Вычисления удобнее всего производить по следующей схеме. Для вычисления статистической дисперсии суммируются квадраты чисел, стоящих в соответствующем столбце; сумма делится на ; из результата вычитается квадрат соответствующего математического ожидания. Для получения несмещенной оценки результат множится на поправку . Аналогично оцениваются корреляционные моменты. Для вычисления статистического момента, отвечающего двум заданным сечениям, перемножаются числа, стоящие в соответствующих столбцах; произведении складываются алгебраически; полученная сумма делится на ; из результата вычитается произведение соответствующих математических ожиданий; для получения несмещенной оценки корреляционного момента результат множится на . При выполнении расчетов на счетной машине или арифмометре промежуточные результаты умножений не записываются, а непосредственно суммируются. Полученная таким способом корреляционно матрица системы случайных величин - она же таблица значений корреляционной функции - приведена в таблице 17.1.2.

Таблица 17.1.2.

По главной диагонали таблицы стоят оценки дисперсий:

Извлекая из этих величин квадратные корни, найдем зависимость среднего квадратического отклонения от времени:

Деля значения, стоящие в табл. 17.1.2, на произведения соответствующих средних квадратических отклонений, получим таблицу значений нормированной корреляционной функции (табл. 17.1.3).

Таблица 17.1.3