Разберем, как построить сечение пирамиды, на конкретных примерах. Поскольку в пирамиде нет параллельных плоскостей, построение линии пересечения (следа) секущей плоскости с плоскостью грани чаще всего предполагает проведение прямой через две точки, лежащие в плоскости этой грани.

В простейших задачах требуется построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через данные точки, уже лежащие в одной грани.

Пример.

Построить сечение плоскостью (MNP)

Треугольник MNP — сечение пирамиды

Точки M и N лежат в одной плоскости ABS, следовательно, через них можем провести прямую. След этой прямой — отрезок MN. Он видимый, значит, соединяем M и N сплошной линией.

Точки M и P лежат в одной плоскости ACS, поэтому через них проведем прямую. След — отрезок MP. Мы его не видим, поэтому отрезок MP проводим штрихом. Аналогично строим след PN.

Треугольник MNP — искомое сечение.

Если точка, через которую требуется провести сечение, лежит не на ребре, а на грани, то она не будет концом следа-отрезка.

Пример. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки B, M и N, где точки M и N принадлежат, соответственно, граням ABS и BCS.

Здесь точки B и M лежат в одной грани ABS, поэтому можем через них провести прямую.

Аналогично проводим прямую через точки B и P. Получили, соответственно, следы BK и BL.

Точки K и L лежат в одной грани ACS, поэтому через них можем провести прямую. Ее след — отрезок KL.

Треугольник BKL — искомое сечение.

Однако не всегда через данные в условии точки удается провести прямую. В этом случае нужно найти точку, лежащую на прямой пересечения плоскостей, содержащих грани.

Пример. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки M, N, P.

Точки M и N лежат в одной плоскость ABS, поэтому через них можно провести прямую. Получаем след MN. Аналогично — NP. Оба следа видимые, поэтому соединяем их сплошной линией.

Точки M и P лежат в разных плоскостях. Поэтому соединить их прямой не можем.

Продолжим прямую NP.

Она лежит в плоскости грани BCS. NP пересекается только с прямыми, лежащими в этой же плоскости. Таких прямых у нас три: BS, CS и BC. С прямыми BS и CS уже есть точки пересечения — это как раз N и P. Значит, ищем пересечение NP с прямой BC.

Точку пересечения (назовем ее H), получаем, продолжая прямые NP и BC до пересечения.

Эта точка H принадлежит как плоскости (BCS), поскольку лежит на прямой NP, так и плоскости (ABC), поскольку лежит на прямой BC.

Таким образом мы получили еще одну точку секущей плоскости, лежащей в плоскости (ABC).

Через H и точку M, лежащую в этой же плоскости, можем провести прямую.

Получим след MT.

T — точка пересечения прямых MH и AC.

Так как T принадлежит прямой AC, то через нее и точку P можем провести прямую, так как они обе лежат в одной плоскости (ACS).

4-угольник MNPT — искомое сечение пирамиды плоскостью, проходящей через данные точки M,N,P.

Мы работали с прямой NP, продлевая ее для отыскания точки пересечения секущей плоскости с плоскостью (ABC). Если работать с прямой MN, приходим к тому же результату.

Рассуждаем так: прямая MN лежит в плоскости (ABS), поэтому пересекаться может только с прямыми, лежащими в этой же плоскости. У нас таких прямых три: AB, BS и AS. Но с прямыми AB и BS уже есть точки пересечения: M и N.

Значит, продлевая MN, ищем точку пересечения ее с прямой AS. Назовем эту точку R.

Точка R лежит на прямой AS, значит, она лежит и в плоскости (ACS), которой принадлежит прямая AS.

Поскольку точка P лежит в плоскости (ACS), через R и P можем провести прямую. Получаем след PT.

Точка T лежит в плоскости (ABC), поэтому через нее и точку M можем провести прямую.

Таким образом, получили все то же сечение MNPT.

Рассмотрим еще один пример такого рода.

Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки M, N, P.

Через точки M и N, лежащие в одной плоскости (BCS), проводим прямую. Получаем след MN (видимый).

Через точки N и P, лежащие в одной плоскости (ACS), проводим прямую. Получаем след PN (невидимый).

Через точки M и P прямую провести не можем.

1) Прямая MN лежит в плоскости (BCS), где есть еще три прямые: BC, SC и SB. С прямыми SB и SC уже есть точки пересечения: M и N. Поэтому ищем точку пересечения MN с BC. Продолжив эти прямые, получаем точку L.

Точка L принадлежит прямой BC, а значит, она лежит в плоскости (ABC). Поэтому через L и P, которая также лежит в плоскости (ABC) можем провести прямую. Ее след — PF.

F лежит на прямой AB, а значит, и в плоскости (ABS). Поэтому через F и точку M, которая также лежит в плоскости (ABS), проводим прямую. Ее след — FM. Четырехугольник MNPF — искомое сечение.

2) Другой путь — продолжить прямую PN. Она лежит в плоскости (ACS) и пересекается с прямыми AC и CS, лежащими в этой плоскости, в точках P и N.

Значит, ищем точку пересечения PN с третьей прямой этой плоскости — с AS. Продолжаем AS и PN, на пересечении получаем точку E. Поскольку точка E лежит на прямой AS, принадлежащей плоскости (ABS), то через E и точку M, которая также лежит в (ABS), можем провести прямую. Ее след — FM. Точки P и F лежат водной плоскости (ABC), проводим через них прямую и получаем след PF (невидимый).

Определение. Боковая грань - это треугольник, у которого один угол лежит в вершине пирамиды, а противоположная ему сторона совпадает со стороной основания (многоугольника).

Определение. Боковые ребра - это общие стороны боковых граней. У пирамиды столько ребер сколько углов у многоугольника.

Определение. Высота пирамиды - это перпендикуляр, опущенный из вершины на основание пирамиды.

Определение. Апофема - это перпендикуляр боковой грани пирамиды, опущенный из вершины пирамиды к стороне основания.

Определение. Диагональное сечение - это сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и диагональ основания.

Определение. Правильная пирамида - это пирамида, в которой основой является правильный многоугольник, а высота опускается в центр основания.

Объём и площадь поверхности пирамиды

Формула. Объём пирамиды через площадь основы и высоту:

Свойства пирамиды

Если все боковые ребра равны, то вокруг основания пирамиды можно описать окружность, а центр основания совпадает с центром окружности. Также перпендикуляр, опущенный из вершины, проходит через центр основания (круга).

Если все боковые ребра равны, то они наклонены к плоскости основания под одинаковыми углами.

Боковые ребра равны тогда, когда они образуют с плоскостью основания равные углы или если вокруг основания пирамиды можно описать окружность.

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то в основание пирамиды можно вписать окружность, а вершина пирамиды проектируется в ее центр.

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то апофемы боковых граней равны.

Свойства правильной пирамиды

1. Вершина пирамиды равноудалена от всех углов основания.

2. Все боковые ребра равны.

3. Все боковые ребра наклонены под одинаковыми углами к основанию.

4. Апофемы всех боковых граней равны.

5. Площади всех боковых граней равны.

6. Все грани имеют одинаковые двугранные (плоские) углы.

7. Вокруг пирамиды можно описать сферу. Центром описанной сферы будет точка пересечения перпендикуляров, которые проходят через середину ребер.

8. В пирамиду можно вписать сферу. Центром вписанной сферы будет точка пересечения биссектрис, исходящие из угла между ребром и основанием.

9. Если центр вписанной сферы совпадает с центром описанной сферы, то сумма плоских углов при вершине равна π или наоборот, один угол равен π/n , где n - это количество углов в основании пирамиды.

Связь пирамиды со сферой

Вокруг пирамиды можно описать сферу тогда, когда в основании пирамиды лежит многогранник вокруг которого можно описать окружность (необходимое и достаточное условие). Центром сферы будет точка пересечения плоскостей, проходящих перпендикулярно через середины боковых ребер пирамиды.

Вокруг любой треугольной или правильной пирамиды всегда можно описать сферу.

В пирамиду можно вписать сферу, если биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в одной точке (необходимое и достаточное условие). Эта точка будет центром сферы.

Связь пирамиды с конусом

Конус называется вписанным в пирамиду, если их вершины совпадают, а основание конуса вписано в основание пирамиды.

Конус можно вписать в пирамиду, если апофемы пирамиды равны между собой.

Конус называется описанным вокруг пирамиды, если их вершины совпадают, а основание конуса описана вокруг основания пирамиды.

Конус можно описать вокруг пирамиды если, все боковые ребра пирамиды равны между собой.

Связь пирамиды с цилиндром

Пирамида называется вписанной в цилиндр, если вершина пирамиды лежит на одной основе цилиндра, а основание пирамиды вписано в другую основу цилиндра.

Цилиндр можно описать вокруг пирамиды если вокруг основания пирамиды можно описать окружность.

Определение. Усеченная пирамида (пирамидальная призма) - это многогранник, который находится между основанием пирамиды и плоскостью сечения, параллельной основанию. Таким образом пирамида имеет большую основу и меньшую основу, которая подобна большей. Боковые грани представляют собой трапеции.

Определение. Треугольная пирамида (четырехгранник) - это пирамида в которой три грани и основание являются произвольными треугольниками.

В четырехгранник четыре грани и четыре вершины и шесть ребер, где любые два ребра не имеют общих вершин но не соприкасаются.

Каждая вершина состоит из трех граней и ребер, которые образуют трехгранный угол .

Отрезок, соединяющий вершину четырехгранника с центром противоположной грани называется медианой четырехгранника (GM).

Бимедианой называется отрезок, соединяющий середины противоположных ребер, которые не соприкасаются (KL).

Все бимедианы и медианы четырехгранника пересекаются в одной точке (S). При этом бимедианы делятся пополам, а медианы в отношении 3:1 начиная с вершины.

Определение. Наклонная пирамида - это пирамида в которой одно из ребер образует тупой угол (β) с основанием.

Определение. Прямоугольная пирамида - это пирамида в которой одна из боковых граней перпендикулярна к основанию.

Определение. Остроугольная пирамида - это пирамида в которой апофема больше половины длины стороны основания.

Определение. Тупоугольная пирамида - это пирамида в которой апофема меньше половины длины стороны основания.

Определение. Правильный тетраэдр - четырехгранник у которого все четыре грани - равносторонние треугольники. Он является одним из пяти правильных многоугольников. В правильного тетраэдра все двугранные углы (между гранями) и трехгранные углы (при вершине) равны.

Определение. Прямоугольный тетраэдр называется четырехгранник у которого прямой угол между тремя ребрами при вершине (ребра перпендикулярны). Три грани образуют прямоугольный трехгранный угол и грани являются прямоугольными треугольниками, а основа произвольным треугольником. Апофема любой грани равна половине стороны основы, на которую падает апофема.

Определение. Равногранный тетраэдр называется четырехгранник у которого боковые грани равны между собой, а основание - правильный треугольник. У такого тетраэдра грани это равнобедренные треугольники.

Определение. Ортоцентричный тетраэдр называется четырехгранник у которого все высоты (перпендикуляры), что опущены с вершины до противоположной грани, пересекаются в одной точке.

Определение. Звездная пирамида называется многогранник у которого основой является звезда.

Определение. Бипирамида - многогранник, состоящий из двух различных пирамид (также могут быть срезаны пирамиды), имеющих общую основу, а вершины лежат по разные стороны от плоскости основания.

Правильная шестиугольная пирамида, пересеченная фронтально-проецирующей плоскостью а", показана на рисунке 189. Как и в предыдущих примерах, фронтальная проекция сечения совпадает с фронтальным следом плоскости. Горизонтальную и профильную проекции фигуры сечения строят по точкам, которые являются точками пересечения плоскости а" с ребрами пирамиды. Действительный вид фигуры сечения в этом примере найдем способом перемены плоскостей проекций. Рисунок 189 Развертка боковой поверхности усеченной пирамиды с фигурой сечения и фигурой основания приведена на рисунке 190. Сначала строят развертку неусеченной пирамиды, все грани которой, имеющие форму треугольника, одинаковы. На плоскости намечают точку S0 (вершину пирамиды) и из нее, как из пенгра, проводят дугу окружности радиусом R, равным действительной длине бокового ребра пирамиды. Действительную длину ребра можно определить по профильнои проекции пирамиды, например отрезки 6 L или S В, так как эти ребра параллельны профильной плоскости и изображаются на ней действительной длиной. Датее по дуге окружности от любой точки, например Afr откладывают шесть одинаковых отрезков, равных действительной длине стороны шестиугольника - основания пирамиды. Действительную длину стороны основания пирамиды получаем на горизонтальной проекции (отрезок А"В"). Точки А^- Е0 соединяют прямыми с вершиной SQ. Затем от вершины S0 на этих прямых откладывают действительные длины отрезков ребер до секущей плоскости. На профильной проекции усеченной пирамиды имеются действительные длины только двух отрезков - S""5"" и S"2"". Действительные длины остальных отрезков определяют способом вращения их вокруг оси, перпендикулярной к горизонтальной плоскости и проходящей через вершину S. Полученные точки /0, 30 и т. д. соединяют прямыми и пристраивают фигуры основания и сечения, пользуясь методом триангуляции. Линии сгиба на развертке проводят штрих-пунктирной линией с двумя точками. Построение изометрической проекции усеченной пирамиды начинают с построения изометрической проекции основания пирамиды по размерам, взятым с горизонтальной проекции комплексного чертежа. Затем на плоскости основания но координатам точек 1-6" строят горизонтальную проекцию сечения (тонкие линии на основании пирами- ды, рисунок 191). Из вершины полученного шестиугольника проводят вертикальные прямые, на которых откладывают координаты, взятые с фронтальной или профильной проекции призмы, например, отрезки А", К2, Ку и т. д. Полученные точки 1-6 соединяем, получаем фигуру сечения. Соединив точки 1-6 с вершинами шестиугольника, основания пирамиды, получим изометрическую проекцию усеченной пирамиды. Невидимые ребра изображают штриховыми линиями.

Пирамидой называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника -- основания пирамиды, точки, не лежащей в плоскости основания,-- вершины пирамиды и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания (рис. 18).

Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми ребрами.

Поверхность пирамиды состоит из основания и боковых граней. Каждая боковая грань -- треугольник. Одной из его вершин является вершина пирамиды, а противолежащей стороной - сторона основания пирамиды.

Высотой пирамиды, называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.

Пирамида называется n-угольной, если ее основанием является n-угольник. Треугольная пирамида называется также тетраэдром.

У пирамиды, изображенной на рисунке 18, основание -- многоугольник А1А2 …An, вершина пирамиды - S, боковые ребра -- SА1, S А2, …, S Аn, боковые грани - SА1А2, SА2А3, ... .

В дальнейшем мы будем рассматривать только пирамиды с выпуклым многоугольником в основании. Такие пирамиды являются выпуклыми многогранниками.

Построение пирамиды и ее плоских сечений

В соответствии с правилами параллельного проектирования изображение пирамиды строится следующим образом. Сначала строится основание. Это будет некоторый плоский многоугольник. Затем отмечается вершина пирамиды, которая соединяется боковыми ребрами с вершинами основания. На рисунке 18 показано изображение пятиугольной пирамиды.

Сечения пирамиды плоскостями, проходящими через ее вершину, представляют собой треугольники (рис. 19). В частности, треугольниками являются диагональные сечения. Это сечения плоскостями, проходящими через два несоседних боковых ребра пирамиды (рис. 20).

Сечение пирамиды плоскостью с заданным следом g на плоскости основания строится так же, как и сечение призмы.

Для построения сечения пирамиды плоскостью достаточно построить пересечения ее боковых граней с секущей плоскостью.

Если на грани, не параллельной следу g, известна какая-нибудь точка А, принадлежащая сечению, то сначала строится пересечение следа g секущей плоскости с плоскостью этой грани -- точка D на рисунке 21. Точка D соединяется с точкой А прямой. Тогда отрезок этой прямой, принадлежащий грани, есть пересечение этой грани с секущей плоскостью. Если точка А лежит на грани, параллельной следу g, то секущая плоскость пересекает эту грань по отрезку, параллельному прямой g. Переходя к соседней боковой грани, строят ее пересечение с секущей плоскостью и т. д. В итоге получается требуемое сечение пирамиды.

Введение. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1. Понятие многогранника. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2. Пирамида. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Свойства пирамиды. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2. Усеченная пирамида. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . 8

2.3. Построение пирамиды и ее плоских сечений. . . .9

3. Призма. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.1. Изображение призмы и построение ее

сечений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4. Параллелепипед. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.1 Некоторые свойства параллелепипеда. . . . . . . 16

5. Теорема Эйлера о многогранниках. . . . . . . . . . . . . . . 18

6. Подобие многогранников. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

7. Правильные многогранники. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

7.1. Сводная таблица многогранников. . . . . . . . . . . 22

Заключение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Список литературы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Введение

Как-то Блез Паскаль сказал: «Предмет математика настолько серьезен, что полезно не упустить случая сделать его немного занимательнее». С этой позиции попробуем рассмотреть стереометрию, являющуюся одним из разделов геометрии. Стереометрия изучает свойства фигур в пространстве. Например, капли жидкости в невесомости принимают форму геометрического тела, называемого шаром. Такую же форму имеет и маленький теннисный шарик, и более крупные предметы - наша планета и многие другие космические объекты. А консервная банка - это цилиндр.

Стереометрия вокруг нас: в быту и в профессиональной деятельности. Мы, безусловно, не можем «увидеть» науку, но можем ежедневно лицезреть объемные тела в пространстве, которые она изучает. Разве не интересно рассматривать себя в зеркале со всех сторон? А ведь человеческая фигура - это тоже объемный предмет.

Для решения многих геометрических задач, связанных с тетраэдром и параллелепипедом, необходимо уметь строить на рисунке их сечения различными плоскостями. Назовем секущей плоскостью любую плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данной фигуры. Секущая плоскость пересекает грани фигуры по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением фигуры. Так как тетраэдр имеет четыре грани, то его сечениями могут быть только треугольники и четырехугольники. Параллелепипед имеет шесть граней. Его сечениями могут быть треугольники, четырехугольники, пятиугольники и шестиугольники.

1. Понятие многогранника

Многогранник – геометрическое пространственное тело, ограниченное со всех сторон конечным числом плоских многоугольников. Гранями многогранника называются многоугольники, ограничивающие многогранник (грани - ABCD, MEFN, ABEM, BEFC, CDNF, ADMN). Ребрами многогранника называются общие стороны смежных граней (ребра - AB, BC, CD, AD, BE, CF, AM, DN, ME, EF, FN, MN). Вершинами многогранника называются вершины многогранных углов, образованных его гранями, сходящимися в одной точке. Диагональю многогранника называется отрезок прямой, соединяющей две вершины, не лежащие в одной грани (BN). Диагональной плоскостью многогранника называется плоскость, проходящая через три вершины многогранника, не лежащие в одной грани (плоскость BEN).

Многогранник называется выпуклым , если он расположен по одну сторону плоскости каждого многоугольника его поверхности. Гранями выпуклого многогранника могут быть только выпуклые многоугольники (примером выпуклого многогранника может служить куб, рис. 1).

Если же грани многоугольника самопересекаются, то такой многогранник называется невыпуклым (рис. 2).

Сечением многогранника плоскостью называется часть этой плоскости, ограниченная линией пересечения поверхности многогранника с этой плоскостью.

.

2. Пирамида

Пирамидой называется многогранник, одна грань которого - произвольный многоугольник, а остальные грани - треугольники, имеющие общую вершину.

Основанием пирамиды называется многогранник, полученный в секущей плоскости (ABCDE). Боковыми гранями пирамиды называются треугольники ASB, BSC, … с общей вершиной S, которая называется вершиной пирамиды. Боковыми ребрами пирамиды называются ребра, по которым пересекаются боковые грани. Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из вершин пирамиды на плоскость ее основания. Апофемой пирамиды называется высота боковой грани, опущенная из вершины пирамиды.

Пирамида называется правильной , если ее основание - правильный многоугольник, и вершина пирамиды проектируется в центр этого многоугольника.

Докажем, что все боковые ребра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками

Рассмотрим правильную пирамиду PA 1 A 2 …A n . Сначала докажем, что все боковые ребра этой пирамиды равны. Любое боковое ребро представляет собой гипотенузу прямоугольного треугольника, одним катетом которого служит высота PO пирамиды, а другим – радиус описанной около основания окружности (например, боковое ребро PA 1 – гипотенуза треугольника OPA 1 , в котором OP=h, OA 1 =R). По теореме Пифагора любое боковое ребро равно √(h 2 +R 2), поэтому PA 1 =PA 2 =…= PA n .

Мы доказали, что боковые ребра правильной пирамиды PA 1 A 2 …A n равны друг другу, поэтому боковые грани – равнобедренные треугольники. Основания этих треугольников также равны друг другу, так как A 1 A 2 …A n – правильный многоугольник. Следовательно, боковые грани равны по третьему признаку равенства треугольников, что и требовалось доказать.

Сечение пирамиды плоскостью, параллельной плоскости основания, называют поперечным сечением пирамиды .

Свойства пирамиды

Свойства поперечных сечений пирамиды.

1. Если пересечь пирамиду плоскостью, параллельной основанию, то:

· боковые ребра и высота пирамиды разделятся этой плоскостью на пропорциональ­ные отрезки;

· в сечении получится многоуголь­ник, подобный многоугольнику, лежащему в ос­новании;

· площади сечения и основания будут относиться друг к другу как квадраты их рас­стояний от вершины пирамиды:

S 1:S 2 =X 1 2:X 2 2

2. Если две пирамиды с равными высотами пересечь плоскостями, параллельными основаниям, на одинаковом расстоянии от вершины, то площади сечений будут пропорциональны площадям оснований.

Площадью боковой поверхности (или просто боковой поверхностью) пирамиды называется сумма площадей ее боковых граней.

Площадь полной поверхности (или просто полная поверхность) пирамиды - сумма площади ее боковой поверхности и площади основания.

Свойства высоты пирамиды

1. Если боковая грань пирамиды перпендикулярна плоскости основания, то высота пирамиды проходит в плоскости этой грани.

2. Если два смежных боковых ребра пирамиды равны, то основание высоты пирамиды находится на перпендикуляре, проведенном через середину той стороны основания, из концов которой исходят эти боковые ребра.

3. Если две смежные боковые грани пирамиды одинаково наклонены к плоскости основания, то основание высоты пирамиды лежит на биссектрисе угла, образованного теми сторонами основания, через которые проходят эти боковые грани.

4. Если боковое ребро пирамиды образует равные углы с двумя примыкающими к нему сторонами основания, то основание высоты пирамиды лежит на биссектрисе угла, образованного этими сторонами основания.

5. Если боковое ребро пирамиды перпендикулярно пересекающейся с ним стороне основания, то основание высоты пирамиды находится на перпендикуляре, восстановленном (в плоскости основания пирамиды) к этой стороне из точки ее пересечения с этим боковым ребром.

ПРИМЕЧАНИЕ : если пирамида обладает какими - либо двумя из этих особенностей, то можно однозначно указать точку, являющуюся основанием высоты пирамиды.

На рисунке изображен фрагмент правильной n – угольной пирамиды SABCD…, где SH – высота пирамиды; SK – апофема. Введем следующие обозначения: угол альфа (ά ) – угол между боковым ребром пирамиды и плоскостью основания; бета (β)– угол между боковой гранью и плоскостью основания; угол игрек (γ) – угол между смежными боковыми ребрами; угол фи (φ) – угол между смежными боковыми гранями.

Если в правильной пирамиде известен один из этих углов, то можно найти остальные три. Шесть отношений приведены в таблице:

Объем пирамиды находится по формуле:

V=1/3S осн H,

где S осн – площадь основания, H – высота.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды выражается так:

S бок =1/2Ph,

где P – периметр основания, h – высота боковой грани

2.2. Усеченная пирамида.

Усеченной пирамидой называется часть пирамиды, заключенная между ее основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию, например пирамида ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 .

Основаниями усеченной пирамиды называются параллельные грани ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 (ABCD – нижнее основание, а A 1 B 1 C 1 D 1 – верхнее основание).

Высота усеченной пирамиды – отрезок прямой, перпендикулярный основаниям и заключенный между их плоскостями.

Усеченная пирамида правильная , если ее основания – правильные многоугольники, а прямая, соединяющая центры оснований, перпендикулярна плоскости оснований.

Апофемой усеченной пирамиды называют высоту ее боковой грани.

Боковой поверхностью усеченной пирамиды называется сумма площадей ее боковых граней. Полная поверхность усеченной пирамиды равна сумме боковой поверхности и площадей оснований.

Усеченная пирамида получается из пирамиды отсечением от нее верхней части плоскостью, параллельной основанию. Основания усеченной пирамиды - подобные многоугольники, боковые грани – трапеции.

Объем усеченной пирамиды находится по формуле:

V=1/3 H(S+√ SS 1 +S 1),

где S и S1 – площади оснований, а H – высота.

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды выражается так:

S бок =1/2(P+P 1)h,

где P и P1 – периметры оснований, h – высота боковой грани (или апофема правильной усеченной пирамиды).

2.3. Построение пирамиды и ее плоских сечений

В соответствии с правилами параллельного проектирования изображение пирамиды строится следующим образом. Сначала строится основание. Это будет некоторый плоский многоугольник. Затем отмечается вершина пирамиды, которая соединяется боковыми ребрами с вершинами основания.

Сечения пирамиды плоскостями, проходящими через ее вершину, представляют собой треугольники (рис. а). В частности, также треугольниками являются диагональные сечения. Это сечения плоскостями, проходящими через два не соседних боковых ребра пирамиды (рис. б).

Сечение пирамиды плоскостью с заданным следом g на плоскости основания строится так же, как и сечение призмы.

Для построения сечения пирамиды плоскостью достаточно построить пересечения ее боковых граней с секущей плоскостью.

Если на грани, не параллельной следу g, известна какая - нибудь точка А, принадлежащая сечению, то сначала строится пересечение следа g секущей плоскости с плоскостью этой грани - точка D на рисунке (в) . Точка D соединяется с точкой А прямой. Тогда отрезок этой прямой, принадлежащий грани, есть пересечение этой грани с секущей плоскостью. Если точка А лежит на грани, параллельной следу g, то секущая плоскость пересекает эту грань по отрезку, параллельному прямой g. Переходя к соседней боковой грани, строят ее пересечение с секущей плоскостью и т. д. В итоге получается требуемое сечение пирамиды.