: Расширить свои знания в области доказательства неравенств. Познакомиться с неравенством Коши. Научиться применять изученные методы к доказательству неравенств.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №655

Приморского района Санкт-Петербурга

«Доказательство неравенств. Неравенство Коши»

2014г.

Ли Нина Юрьевна

8в класс

Аннотация…………………………………………………………………………………….3

Введение …………………………………………………………………………………….. 4

Историческая справка………………………………………………………………………..4

Неравенство Коши……………………………………………………………………………5

Доказательство неравенств…………………………………………………………………..7

Выводы исследования………………………………………………………………………..10

Список литературы……………………………………………………………………………11

Ли Нина

г. Санкт-Петербург, ГБОУ СОШ №655, 8 класс

«Доказательство неравенств. Неравенство Коши».

руководитель: Мороз Юлия Владимировна, учитель математики

Цель научной работы: Расширить свои знания в области доказательства неравенств. Познакомиться с неравенством Коши. Научиться применять изученные методы к доказательству неравенств.

ВВЕДЕНИЕ

«…основные результаты математики чаще выражаются не равенствами, а неравенствами».

Э. Беккенбах

Решением неравенств мы занимаемся на протяжении всего школьного курса. Неравенства можно решать графическим и аналитическим способом. Чтобы решить любое неравенство существует определенный алгоритм действий, поэтому данная задача является, скорее механическим действием, который не требует творческого подхода.

Напротив, доказательство неравенств требует неформального, вариативного подхода. Поэтому доказательство неравенств является наиболее интересным.

Однако, в школьном курсе математики доказательству неравенств уделяется очень мало внимания. Доказательство неравенств сводится к одному приему- оценке разности частей неравенства. Между тем, на математических олимпиадах часто встречаются задачи на доказательство неравенств с применением других способов и приемов (использование опорных неравенств, метод оценивания). На олимпиадах для школьников по математике также часто предлагаются неравенства, доказательство которых лучше выявляет способности и возможности учащихся, степень их интеллектуального развития. Кроме того, многие задачи повышенной сложности (из различных разделов математики) эффективно решаются с помощью неравенств.

Актуальность темы «Доказательство неравенств» бесспорна, так как неравенства играют фундаментальную роль в большинстве разделов современной математики, без них не может обойтись ни физика, ни астрономия, ни химия. Теория вероятности, математическая статистика, финансовая математика, экономика – все эти взаимосвязанные и обобщающие друг друга науки и в формулировках основных своих законов, и в методах их получения, и в приложениях, постоянно используют неравенства.

Доказательства неравенств помогают развить навык осмысления и применения приемов доказательства неравенств; умение применять их при выполнении различных задач; умение анализировать, обобщать и делать выводы; логически излагать мысли; творчески относится к делу.

Целью данной работа является расширение знаний в области методов и приемов доказательства неравенств.

Для достижения данной цели исследования мы поставили перед собой задачи:

• сбор информации из различных источников о приемах и методах доказательства неравенств;
• познакомится с неравенством Коши;
• Научится применять опорные неравенства к доказательству более сложных неравенств.

ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА

Понятия «больше» и «меньше» наряду с понятием «равенство» возникли в связи со счетом предметов и необходимостью сравнивать различные величины. Понятиями неравенства пользовались еще древние греки. Архимед (III в. до н. э.), занимаясь вычислением длины окружности, установил, что «периметр всякого круга равен утроенному диаметру с избытком, который меньше седьмой части диаметра, но больше десяти семьдесят первых». Иначе говоря, Архимед указал границы числа π.

В 1557 г., когда Роберт Рекорд впервые ввел знак равенства, он мотивировал свое нововведение следующем образом: никакие два предмета не могут быть между собой более равными, чем два параллельных отрезка. Исходя из знака равенства Рекорда, другой английский ученый Гарриот ввел употребляемые и поныне знаки неравенства, обосновывая нововведение следующим образом: если две величины не равны, то отрезки, фигурирующие в знаке равенства, уже не параллельны, а пересекаются. Пересечение может иметь место справа (>) или слева (

Несмотря на то что знаки неравенства были предложены через 74 года после предложенного Рекордом знака равенства, они вошли в употребление намного раньше последнего. Одна из причин этого явления коренится в том, что типографии применяли в то время для знаков неравенства уже имевшуюся у них латинскую букву V, тогда как наборного знака равенства (=) у них не было, а изготовлять его тогда - было нелегко.

Знаки ≤ и ≥ ввел французский математик П. Буге.

НЕРАВЕНСТВО КОШИ

Применяемые для доказательства неравенств идеи почти столь же разнообразны, как и сами неравенства. В конкретных ситуациях общие методы часто приводят к некрасивым решениям. Но неочевидное комбинирование нескольких «базовых» неравенств удается лишь немногим. И, кроме того, ничто не мешает нам в каждом конкретном случае поискать более удобное, лучшее решение, нежели полученное общим методом. По этой причине доказательства неравенств нередко относят к области искусства. И как во всяком искусстве здесь есть свои технические приемы, набор которых весьма широк и овладеть всеми очень сложно.

Одним из таких «базовых» неравенств является неравенство Коши, указывающее на соотношение двух средних величин – среднего арифметического и среднего геометрического. Среднее арифметическое изучается в школьном курсе пятого класса и выглядит таким образом Среднее геометрическое впервые появляется в курсе геометрии восьмого класса - . В прямоугольном треугольнике таким свойством обладают три отрезка: два катета и перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу.

Между этими двумя этими величинами существует удивительное соотношение, которое исследовали ученые. О. Коши, французский математик, пришел к выводу о том, что среднее арифметическое n неотрицательных чисел всегда не меньше среднего геометрического этих чисел.

Наряду с неравенством Коши полезно знать следствия из него:

Равенство достигается при a = b.

Неравенства верны, если выполняются условия a > 0, b > 0.

Алгебраическое доказательство этого не равенства довольно простое:

(а – в)² ≥ 0;

Применим формулу «квадрат разности»:

а² - 2ав + в² ≥0;

Прибавим к обеим частям неравенства 4ав :

а² + 2ав + в² ≥4ав;

Применим формулу «квадрат суммы»:

(а + в)² ≥4ав;

Разделим обе части неравенства на 4 :

Так как а и в – положительные по условию, то извлечём из обеих частей неравенства квадратный корень:

Получили искомое выражение.

Рассмотрим геометрическое доказательство:

Дано: ABCD – прямоугольный, AD = a, AB = b, AK – биссектриса угла ВАD.

Доказать:

Доказательство:

1. АК – биссектриса, следовательно, ВАL = LAD. LAD и BLA – внутренние накрест лежащие углы при параллельных ВС и AD и секущей AL, то есть BLA = LAD.
2. В = 90°, следовательно, BAL = LAD = 45°, но BLA = LAD, значит, ∆ АВL – равнобедренный, BL = AB = b.
3. ∆AKD – равнобедренный, так как KD ┴ AD, DAL = 45°, значит AD = KD = a.

Очевидно, что , равенство достигается при

a = b , то есть ABCD – квадрат.

заменим в неравенстве а² на m , b² на n , получим

Или ,

то есть среднее геометрическое не больше среднего арифметического.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕРАВЕНСТВ

Метод синтеза.

Это метод, основанный на получении (синтезировании) неравенства (которое требуется обосновать) из опорных (базисных) неравенств и методов их установления.

Решим задачу, используя метод синтеза

Задача 1. Докажите, что для любых неотрицательных a, b, c справедливо неравенство

Решение. Запишем три неравенства, устанавливающие зависимость между средним арифметическим и средним геометрическим двух неотрицательных чисел

Перемножим почленно полученные неравенства, так как их левая и правая части неотрицательны

Задача 2. Применим неравенство Коши к доказательству этого неравенства:

Метод использования тождеств .

Суть метода состоит в том, что данное неравенство путём равносильных преобразований приводится к очевидному тождеству.

Рассмотрим решение задачи этим методом.

Задача. Докажите, что для любых действительных чисел a и b справедливо неравенство .

Решение. Выделим в левой части неравенства полный квадрат

При любых действительных a и b это выражение неотрицательно, значит и данное неравенство выполнимо, то есть .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Данная исследовательская работа была направлена на решение следующих задач:

• сбор информации и изучение различных методов и приемов доказательства неравенств;
• знакомство с замечательным неравенством Коши, его доказательство алгебраическим и геометрическим способом;
• применение полученных знаний для доказательства неравенств;
• знакомство с методом синтеза и использования тождеств в решении поставленных задач.

В процессе решения задач мы достигли поставленной цели нашей исследовательской работы –нахождение оптимально эффективного метода доказательства неравенств.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Алгебра. 8 класс: учеб. для учащихся общеобр. учрежд./ Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, И.Е.Феоктистов.-13-е изд.- М.:Мнемозина,2013.-384с.

1. Алгебра. 8 класс. Дидактические материалы. Методические рекомендации/ И.Е.Феоктистов.-3-е изд.,стер.-М.:Мнемозина,2013.-173 с.

1. Мордкович А.Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович. – 10-е изд., стер. – М.: Мнемозина,2008. – 215с., С 185-200.

1. Берколайко С.Т. Использование неравенства Коши при решении задач.- М.: Квант, 1975.- №4.

Калинин Сергей Иванович,доктор педагогических наук, заведующий кафедрой математического анализа и методики обучения математике ФГБОУ ВПО Вятскийгосударственныйгуманитарныйуниверситет»,г. Киров[email protected]

Неравенство Коши: новое индуктивное доказательство и некоторые применения к решению задач

Аннотация. В статье рассматривается новое доказательство обобщенного неравенства Коши для арифметикогеометрических средних положительных чисел, использующее метод прямой и обратной индукции. Приводятся примеры применения простого и обобщенного неравенств Коши при решении задач повышенного уровня сложности школьного курса математики.Ключевые слова: средние арифметическое и геометрическое, неравенство Коши, задачи повышенного уровня сложности школьного курса математики.

Напомним читателю упоминаемое в заголовке неравенство для средних арифметического и геометрического положительных чисел. Это есть неравенство

в котором равенство достигается тогда и только тогда, когда. Данное неравенство было открыто великим французским математиком Огюстеном Луи Коши в 1821г. и потому по праву носит его имя. В образовательной математике неравенство Коши хорошо известно, оно регулярно обсуждается на страницах научнометодических и научнопопулярныхизданий, с его помощью эффективно решаются многие задачи на доказательство алгебраических и тригонометрических неравенств, геометрических соотношений, на решение уравнений и их систем, на нахождение наибольшего и наименьшего значений переменных величин, атакже геометрических экстремумов.Наряду с неравенством 1 в тематике средних величин часто рассматривается и так называемое обобщенное, или весовоенеравенство Коши

где, –взвешенные среднее арифметическое и среднее геометрическое чисел

соответственно, а

–числа, называемые весами. В 2 равенство снова достигается только при условии.Ясно, что неравенство 1 получается из 2 при совпадении всех весов.В учебном пособии по спецкурсу 1] мы рассмотрели не один десяток доказательств неравенств 1–2, использующих принципиально различные подходы. В частности, в § 2 главы 3 цитируемого пособия приводится индуктивное доказательство неравенства 1, приписываемое самому Коши. Подчеркнем, что доказательство Коши основывается на методе прямой и обратной индукции подругому, индукции вверх и вниз 2, с. 13–14], или ветвящейся» индукции 3, глава 9 И. С. Рубанова, с. 105]. Его суть состоит в том, что после установления базы индукции для переходом от к неравенство 1 доказывается для всехn, являющихся степенями двойки что соответствует прямой индукции. Затем показывается, что справедливость неравенства 1 для nчисел, влечет его выполнение и для n–1 чисел обратная индукция. В настоящей заметке мы описанную технику Коши при установлении 1 хотим реализовать иначе. Выполним это, нацеливаясь одновременно на обоснование неравенства 2, обобщающего 1.Сначала установим базу индукции, т. е. покажем, что справедливо неравенство

в котором равенство достигается тогда и только тогда, когда.Для доказательства 3 применим неравенство Иенсена 4, с. 58]

для вогнутой выпуклой вверх функции, полагая

Будем иметь:,

равенство в последнем соотношении достигается только при условии логарифмическая функция не есть линейная функция. Отсюда следует неравенство 3 вместе с обоснованием условий достижения в нем равенства. База индукции установлена.Предположим теперь, что неравенство 2 справедливо для, т. е.

при этом равенство в 4 достигается тогда и только тогда, когда. Покажем, что неравенство 2 будет иметь место и для, при этом равенство в нем будет достигаться только, если. Имеем:

в цепочке преобразований сначала мы дважды применили оценку снизу на основании индуктивного предположения, а затем еще одну аналогичную оценку –на основании базы индукции. Нетрудно видеть, что равенство в соотношении будет достигаться толькотогда, когда, и, т.е. при условии. Нужное показано.С учетом базы реализованная прямая индукция позволяет заключить, что неравенство 2 справедливо для всех n, являющихся степенями двойки. Реализуем обратную индукцию.Предположим, что неравенство 2 справедливо для некоторого. Покажем, что оно будет выполняться и при. Действительно, в неравенстве положим. Будем иметь:

Отсюда следует, что

Легко видеть, что равенство в последнем неравенстве будет иметь место только при совпадении всех чисел. Неравенство 2 полностью обосновано.Замечание. Предлагаем читателю реализовать подход Коши к доказательству неравенства 1 в отношении обобщенного неравенства 2.Рассмотрим несколько применений неравенств 1–(2).Задача 15]. Докажите неравенство, . Решение. Данное неравенство можно доказать как с помощью простого неравенства Коши1, так и обобщенного 2, потому рассмотрим два способа решения задачи.Iспособ.

В цепочке соотношений трижды применялось неравенство Коши 1 для двух положительных чисел. IIспособ.. Здесь применяется неравенство Коши 2 к величинам с весами 1, 3, 4. Второе решение задачи –экономичнее.Задача 26]. Докажите неравенство (N) .Решение. По обобщенному неравенству Коши можно записать:

В произведенной оценке знак неравенства строгий, так как числа являются различными. Отсюда следует доказываемое неравенство.Задача 37]. Докажите, что.Решение. В силу неравенства Коши 1, имеем оценку:

Задача 4.Для треугольника со сторонами докажите неравенство

где p–полупериметр треугольника.

Решение. Используя неравенство Коши для взвешенных среднего арифметического и среднего геометрического величин cвесами 1, 2, 3, 1, 2, 3, имеем оценку:

В котором знак неравенства –строгий, ибо не выполняется условие. Задача 58]. Докажите, что среди всех треугольников данной площади наименьший периметр имеет правильный треугольник. Решение. Пусть –стороны треугольника, p–его полупериметр. По формуле Герона площадь Sтреугольника выразится так: . Оценим Sсверху, применив неравенство Коши для чисел:

Таким образом, откуда. В последнем неравенстве равенство возможно лишь при условии, т. е. при. Это говорит о том, что наименьший периметр будет у правильного треугольника. Задача 6. Решите уравнение.Решение. Область определения неизвестного данного уравнения есть промежуток. На этом промежутке правую часть уравнения оценим снизу, используя неравенство Коши 1: .

Заметим, равенство в произведенной оценке достигается только, если, или. Легко видеть, что, причем равенство в этом соотношении достигается только при. Следовательно, исходное уравнение имеет единственный корень.Замечание. В приведенном решении оценку можно получить посредством применения обобщенного неравенства Коши:

Задача 7.Решите систему уравнений Решение. По простому неравенству Коши из первого уравнения системы имеем оценку, следовательно, первое уравнение эквивалентно условию, или. Отсюда, в силу второго уравнения системы, получаем уравнение относительно: . Оно имеет два решения, значит, соответствующие значения для будут, . Проверкой убеждаемся, что данная система имеет единственное решение.Задача 8. Решите уравнение.Решение. Рассматриваемое уравнение задано на множестве. Перепишем его в виде.

Левую часть последнего уравнения оценим снизу, используя неравенство Коши 2 для взвешенных среднего арифметического и среднего геометрического степеней и с весами и: =1.

Следовательно, данное уравнение равносильно уравнению

Так как, то все сводится к решению уравнения.

Из последнего находим, что. Найденные значения лежат в области допустимых значений уравнения, значит, это искомые корни. Рассмотрим уравнение, навеянное задачей 8.Задача 9 .Решите уравнение.Решение. Данное уравнение схоже с предыдущим. Очевидно, оно также определено на множестве. Запишем его в равносильной форме

Левую часть последнего уравнения оценим снизу, применяя неравенство 2. Для этого положим, . Имеем:

В произведенной оценке равенство достигается лишь при условии

которое в силу равенства эквивалентно условию. Отсюда находим искомые корни.Ссылки на источники1.Калинин С. И. Средние величины степенного типа. Неравенства Коши и Ки Фана: учебноепособие по спецкурсу. –Киров: Издво ВГГУ, 2002. –368 с.2.Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. –М.: Мир, 1965. –276 с.3.Генкин С. А., Итенберг И. В., Фомин Д. В. Ленинградские математические кружки: пособие для внеклассной работы. –Киров: Издво АСА», 1994. –272с.4.Ижболдин О., Курляндчик Л. Неравенство Иенсена // Квант. –1990. –№ 4. –С.57–62.5.Галицкий М.Задачи по алгебре для 8–9 классов // Математика: Еженедельное приложение к газете Первое сентября». –1998. –№ 6. –С. 7–10. 6.Вересова Е. Е. и др.Практикум по решению математических задач. –М.: Просвещение,1979. 7.Квант. –1985. –№ 11. –С. 25.8.Курляндчик Л. Д.Приближение к экстремуму //Квант. –1981. –№ 1.–С. 21–25.

9.Калинин С.И.Два родственных» уравнения // Математика в школе. –2002. –№ 6. –С. 70–71.

Kalinin Sergey, Doctor of Education, Chief of mathematical analysis and methods of teaching mathematics chair in Vyatka State University of Humanities, [email protected]

Inequality Cauchy: a new inductive proof and some applications to solving problemsAbstract. The article is devoted to a new proof of the generalized Cauchy inequality for arithmetical and geometrical mean of positive numbers, using the method of forward and backward induction. We give examples of simple and generalized Cauchy inequalities to solve problems of high levels of school mathematics.Keywords: arithmetic and geometric averages, the Cauchy inequality, the problem of high levels of schoolmathematics.

Замечательное неравенство Коши.

Это знаменитое неравенство принадлежит французскому математику О.Коши, которое было опубликовано в 1821 году. В то время его доказательство занимало несколько страниц сложных выкладок и было основано на методе математической индукции. С тех пор появилось несколько десятков различных доказательств этого неравенства.

Теорема. Для неотрицательных чисел
справедливо неравенство Коши

Равенство достигается тогда и только тогда, когда
.

Доказательство. Пусть числа - положительны и
. Это число называется средним геометрическим положительных чисел , при
(если n=1, то
).

Возведём обе части равенства в n – ную степень. Получим

Умножим числитель и знаменатель этого равенства на

, n = 2, 3, 4, 5,…

Применим неравенство Бернулли (
), заменив в нём q на
. Получим

Таким образом

Если n = 2, то
;

Если n = 3, то
;

Если n = 4, то
;

……………………………..

Сложим эти неравенства почленно, получим:

Перенесём влево, разделим неравенство на n .

, где

Таким образом
.

Равенство достигается, когда все а равны.

Это неравенство справедливо и для неотрицательных чисел.

Существуют и другие варианты записи неравенства Коши:

Возведём обе части неравенства Коши в n - ную степень

Получим:

Рассмотрим задачи на применение неравенства Коши.

Задача № 1. Произведение положительных чисел
. Доказать, что

Решение. Применим неравенство Коши:

;

Задача №2. Решить уравнение:

Решение. При х = 2 правая часть уравнения равна 2, а при
будет меньше 2, поскольку каждое слагаемое меньше 1. Итак, правая часть не превосходит 2. Левую часть представим в виде

(х>1)

Применим неравенство Коши для слагаемых
и
.

(х > 1)

Таким образом правая часть уравнения не превосходит 2, а левая часть не меньше 2. Равенство достигается если обе части равны двум, то есть

Значит при х = 2.

Ответ: х = 2

Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции.

С помощью неравенства Коши можно находить наибольшее и наименьшее значения функции без использования производной. Для этого потребуются утверждения, вытекающие непосредственно из неравенства Коши:

Задача № 1. Найти наименьшее значение функции
,
.

Решение. Представим функцию
в виде суммы слагаемых

.

Найдем произведение этих слагаемых

.

Это означает, что своё наименьшее значение сумма слагаемых принимает при
, то есть при
.

.

Ответ: у = 4 – наименьшее значение функции, которое достигается при х = 1 .

Задача № 2. Найти наибольшее значение функции
на отрезке
.

Решение. Возведём функцию в квадрат, получим:

, разделим обе части на 4:

.

Представим произведение в виде произведения

.

Найдём сумму этих множителей

,

то есть сумма принимает постоянные значения. Следовательно, функция
, а значит и функция достигает наибольшего значения при
.

Найдём значения функции в этих точках

Следовательно, наибольшее значение функции равно
при
.

Задача № 3. При каких значениях х функция достигает наибольшего значения?

Решение. Запишем функцию
в виде

Найдем сумму этих 5 сомножителей

Применим неравенство Коши для n = 5

Следовательно, функция достигает наибольшего значения равного
, если

Ответ: при
функция достигает наибольшее значение.

Задача № 4. Найти наибольшее и наименьшее значение функции
.

Решение. Найдём область определения функции
.

1)
- наименьшее значение, так как
.

2) Применим неравенство Коши для n = 2 для слагаемых
и
.

, то есть функция имеет наибольшее значение , оно достигается, если

Действительно,
.

Ответ:

.

Основные методы решения задач на установление истинности неравенств с переменными.

Метод анализа .

Это метод, основанный на анализе исследуемого неравенства, причём таком анализе, с помощью которого «обратимыми» рассуждениями строят цепочку переходов от доказываемого неравенства (через ряд промежуточных) к некоторому очевидному (благодаря ранее полученным результатам) неравенству.

Рассмотрим решение задачи методом анализа.

Задача № 1. Доказать, что для любых действительных чисел a , b , c , d таких, что
и
, выполнимо неравенство
.

Решение. Рассмотрим цепочку переходов от одного неравенства к другому, ему равносильному, учитывая, что и по условию.

Возведём обе части в квадрат, так как они неотрицательны:

Подставим значения c ² и d ² из условия .

Получили очевидное неравенство.

Метод синтеза.

Это метод, основанный на получении (синтезировании) неравенства (которое требуется обосновать) из опорных (базисных) неравенств и методов их установления.

Решим задачу, используя метод синтеза.

Задача № 2. Докажите, что для любых неотрицательных a , b , c справедливо неравенство

Решение. Запишем три неравенства, устанавливающие зависимость между средним арифметическим и средним геометрическим двух неотрицательных чисел

;
;

Перемножим почленно полученные неравенства, так как их левая и правая части неотрицательны

Метод от противного.

Суть метода состоит в том, что предполагается выполнение всех условий задачи, а вот само неравенство не выполнено. После чего проводится цепочка равносильных преобразований и выявляется гипотеза, устанавливающая противоречия о выполнении данного неравенства.

Рассмотрим задачу № 1, решённую методом анализа. Решим её методом от противного. . Свойства числовых неравенств . Неравенства одинакового смысла. Неравенства противоположного смысла. Среднее арифметическое. Среднее геометрическое Неравенство Коши ... положительного числа. Стандартный вид положительного ...

Белавина Ксения

Неравенства играют фундаментальную роль в большинстве разделов современной математики, без них не может обойтись ни физика, ни математическая статистика, ни экономика. Не обойтись без них ни химии, ни астрономии. Теория вероятностей, математическая статистика, финансовая математика, экономика - все эти взаимопроникающие и обобщающие друг друга науки и в формулировках основных своих законов, и в методах их получения, и в приложениях постоянно используют неравенства. Неравенства участвуют в получении и обосновании многих важных математических результатов, помогающих разобраться в законах и методах математической системы и экономики.

Скачать:

Предварительный просмотр:

НЕРАВЕНСТВО КОШИ

Введение

"Основные результаты математики

Чаще выражаются неравенствами,

А не равенствами".

Э.Беккенбах, Р.Беллман.

1. Неравенства играют фундаментальную роль в большинстве разделов современной математики, без них не может обойтись ни физика, ни математическая статистика, ни экономика. Не обойтись без них ни химии, ни астрономии. Теория вероятностей, математическая статистика, финансовая математика, экономика - все эти взаимопроникающие и обобщающие друг друга науки и в формулировках основных своих законов, и в методах их получения, и в приложениях постоянно используют неравенства. Неравенства участвуют в получении и обосновании многих важных математических результатов, помогающих разобраться в законах и методах математической системы и экономики.

С помощью классических неравенств во многих случаях можно осуществить исследования на максимум и минимум целого ряда функций без обращения к нахождению и исследованию их производных (тем более, что производная исследуемой функции может отсутствовать).

Задачи, относящиеся к наибольшим и наименьшим значениям или задачи на максимум и минимум более привлекательны, чем другие математические задачи и это имеет простые причины. У каждого из нас есть свои личные задачи. Эти задачи очень часто являются своего рода задачами на максимум или минимум. Мы хотим получить определенный предмет за наиболее низкую возможную цену, или наибольший возможный эффект при определенном усилии, или максимальную работу, произведенную за данное время, и конечно, хотим как можно меньше рисковать. Математические задачи на максимум привлекательны потому, что они идеализируют наши повседневные задачи.

То, что подобные задачи на оптимизацию встречались еще в глубокой древности, донесли до нас мифы Древней Греции и Рима. Вот один из таких мифов, наполовину древнегреческий, наполовину древнеримский. Дочь царя Тира, Дидона, жена жреца храма Геракла Акербаса вынуждена была бежать из Финикии, в Северную Африку. Причина бегства - ее брат, Пигмалион, позаривщийся на богатства ее мужа и убивший его. Многочисленные сокровища мужа и (видимо поэтому) многочисленные спутники Дидоны нуждались в пристанище. Чтобы обрести его беглянка купила у берберийского царя Ярба землю, причем по условию она в обмен на немалые сокровища могла взять ровно столько земли, сколько покроет одна бычья шкура. Чтобы выполнить это условие и получить достаточно большую территорию, Дидона разрезала шкуру на тонкие ремни,сделала из них длинную веревку и "окружила" ею изрядный кусок земли, естественно, круглой формы, на котором основала Карфаген.

Задача, которую решила Дидона, может быть сформулирована так: найти замкнутую кривую заданной длины, ограничивающую часть плоскости с максимальной площадью. Задачи типа задачи Дидоны называются в математике изопериметрическими задачами (от греческого слова isos - равный и perimetrio - измеряю вокруг).

2. Неравенство Коши, его частные случаи.

Одно из самых известных замечательных неравенств - это соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим нескольких действительных неотрицательных чисел, опубликованное в 1821 году французским математиком Агюстеном Луи Коши и ставшее столь популярным, что для него к настоящему времени найдены десятки доказательств и сотни применений.

2.1. "Школьный" вариант неравенства Коши.

Докажите, что для любых неотрицательных a и b справедливо неравенство

(a + b) / 2 ≥ √ ab,

a=b.

Решение. Составим и преобразуем разность между левой и правой частями доказываемого равенства, а затем сравним эту разность с 0 :

a+b/2-√ab=(a-2√ab + b)/2=1/2(√a-√b)²≥0,

что и доказывает исследуемое неравенство, а также дает условие реализации этого соотношения в варианте равенства, а именно, когда a=b.

2.2. Докажите, что для любых неотрицательных a, b, c, d справедливо неравенство (неравенство Коши для четырех переменных):

(a+b+c+d)/4≥ 4 √abcd¸

при чем это соотношение реализуется в варианте равенства только если a=b=c=d.

Решение. (a+b+c+d)/4=((a+b)/2+(c+d)/2)/2≥(√ab+√cd)/2≥√√ab·√cd= 4 √abcd¸

причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда одновременно выполняются три условия: (a +b)/2=√ab; (c+d)/2=√cd ; √ab=√cd ¸ т.е. когда a=b=c=d. Доказательство завершено.

2.3.Теорема. Неравенство Коши для произвольного числа параметров.

Для любых действительных неотрицательных чисел x 1, х 2, …, х n справедливо следующее неравенство (x 1 + х 2 + … + х n )/n ≥ n √ x 1 · х 2 · … · х n

причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда x 1= х 2= …= х n

Левая часть написанного выше неравенства называется средним арифметическим величин x 1, х 2, …, х n , а правая часть средним геометрическим. Иногда теорему называют "теоремой о среднем арифметическом и среднем геометрическом ", или короче "теоремой о средних".

Другие варианты записи неравенства Коши:

а) ((x+ , х 2 + … + х n )/n) n ≥ x 1 · х 2 · … · х n

б) (x 1 + х 2 + … + х n ) n ≥ n n · x 1 · х 2 · … · х n

2.4. Неравенство Коши - Буняковского.

Теорема 1. Для любых действительных чисел a 1, a 2 ¸ …, а n, b 1, b 2 ¸ …, b n (n - любое натуральное число, больше 1) справедливо следующее неравенство

(a 1 b 1 +a 2 b 2 +…+а n b n )²≤(a 1 ²+ a 2 ²+…+ a n ²)(b 1 ²+ b 2 ²+…+ b n ²) или a 1 b 1 +a 2 b 2 +…+а n b n ≤√ a 1 ²+ a 2 ²+…+ a 2 n · √ b 1 ²+ b 2 ²+…+ b n ² , именуемое неравенством Коши - Буняковского, причем данное соотношение реализуется в варианте равенства тогда и только тогда, когда выполняются условия b 1 /а 1 = b 2 /а 2 =…= b n /а n .

Доказательство.

1. Пусть а 1 =а 2 =…= а n =0 и утверждения теоремы 1 очевидно справедливы.

2. Пусть теперь хотя бы одно из чисел а 1, а 2, … а n отлично от нуля. Введем тогда следующие обозначения: А= a 1 ²+ a 2 ²+…+ a n ²>0, С=b 1 ²+ b 2 ²+…+ b n ², В= a 1 b 1 +a 2 b 2 +…+а n b n , позволяющие записать изучаемое неравенство в следующем виде В 2 ≥ АС. Очевидно, что ему будет равносильно неравенство (2В) 2 – 4АС ≤ 0, что подсказывает ввести в рассмотрение следующую вспомогательную функцию f(x)=Ax 2 + 2Bx+C, xє R. Легко видеть, что f(x)=Ax 2 + 2Bx+C= (a 1 ²+ a 2 ²+…+ a n )х 2 +2(a 1 b 1 +a 2 b 2 +…+а n b n )х+(b 1 ²+ b 2 ²+…+ b n ²)=(a 1 х+b 1 ) 2 +… +(а n х+b n ) 2 , т.е. при любом х значение этой квадратичной функции (с положительным коэффициентом при х 2 ) неотрицательно, а это означает, что дискриминант рассматриваемого трехчлена меньше или равен нулю, т.е. D=4В 2 -4АС≤0, а значит , В 2 ≤А·С, иначе говоря, для любых действительных чисел а 1, а 2, … а n , b 1 , b 2 , …,b n справедливо неравенство Коши-Буняковского: (a 1 b 1 +a 2 b 2 +…+а n b n ) 2 ≤(a 1 ²+ a 2 ²+…+ a n )(b 1 ²+ b 2 ²+…+ b n ²) , причем равенство в полученном соотношении достигается тогда и только тогда, когда D=0 , т.е. когда график функции f(x) касается оси ОХ , а значит, уравнение Ax 2 + 2Bx+C=0 имеет ровно один корень, т.е. когда следующая система уравнений совместна:

a 1 х+b 1 =0,

а n х+b n =0 ,

т.е. когда b 1 / a 1 = b 2 / a 2 =…= b n / а n . Теорема доказана.

3 . Свойство монотонности среднего степенного .

С α (а) =(( a 1 α + a 2 α +…+ a n α )/п) 1/α – среднее степенное порядка α положительных чисел а 1, а 2, … а n. Для действительных α и β, таких, что α ≤ β имеет место неравенство (свойство монотонности) С α (а) ≤ С β (а).

Теорема 1. Если сумма двух положительных переменных величин постоянна, то произведение этих переменных имеет наибольшее значение, когда оба сомножителя принимают одинаковые значения.

Доказательство. Пусть х и у х+у=с , где с - постоянная величина.

Применяя неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом, получим: (х+у)/2≥√ху или с /2≥√ху или, наконец,

ху≤c²/4.

Отсюда видно, что наибольшее значение произведения ху равно c²/4 и получается оно при х=у .

Теорема 2. Если сумма n положительных переменных величин постоянна, то произведение этих переменных имеет наибольшее значение, когда все эти переменные принимают одинаковые значения.

Доказательство. Пусть x 1 , х 2 ,…,х n - положительные переменные величины и пусть x 1 + х 2 + … + х n =с, где с постоянна. По теореме Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом имеем:

(x 1 + х 2 + … + х n )/ n ≥ n √ x 1 , х 2 ,…,х n .

Отсюда x 1 х 2 …х n ≤(с/п) п , здесь знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда x 1 = х 2 = … = х n . Следовательно, наибольшее значение произведения x 1 х 2 …х n равно (с/п) п и получается оно при x 1 = х 2 = … = х n . Теорема доказана.

Теорема 3. Если произведение переменных x 1 , х 2 ,…,х n постоянно, то их сумма x 1 + х 2 + … + х n принимает наименьшее значение при x 1 = х 2 = … = х n .

5. Решение задач.

5.1. Задачи на наименьшее и наибольшее значение функции.

Задача 1 . Найти наибольшее значение функции f(x)=х 4 (32- х 4 ).

Решение. Заметим, что при х‹ 4 √32 множители х 4 и 32-х 4 положительны, а их сумма является величиной постоянной. По теореме 1 наибольшее значение данной функции получим при условии, что

х 4 = 32- х 4 ,

2х 4 = 32,

Х 4 =16,

х=2.

При х=2 f(x)=2 4 (32- 2 4 )= 16·16=256.

Ответ: 256.

Задача 2. Найти наибольшее значение функции f(x) =√х-2 + +√16-х.

Если f(x)≥ 0 и не удается найти наибольшее и наименьшее значение f(x), то в некоторых случаях задачу можно решить путем отыскания наибольшего или наименьшего значения функции [ f(x) ] 2 т.е. квадрата данной функции.

Решение. х-2 ≥ 0, х ≥ 2,

16-х≥0; х ≤ 16; 2 ≤ х≤ 16.

Функция f(x) определена для значений х, удовлетворяющих неравенству

2 ≤ х≤ 16.

При х=2 и х=16 функция обращается в нуль, а при всех значениях х, заключенных между 2 и 16, она положительна.

Найдем наибольшее значение квадрата данной функции, т.е. функции 14+2√ (х-2)(16-х).

Множители (х-2) и (16-х) положительны и в сумме дают 14, т.е. постоянную величину. Следовательно, наименьшее значение получится при условии х-2=16-х,

2х=18,

Х=9.

Наибольшее значение квадрата данной функции равно

14+2√ (9-2)(16-9)=14+2√49=28, а наибольшее значение самой данной функции будет равно √28.

Ответ: √28.

Задача 3. На гиперболе у=2/х найдите точки, ближайшие к началу координат.

Решение. ООФ: х≠0. Функция у=2/х – нечетная, искомых точек будет две.

Пусть кротчайшее (наименьшее) расстояние от О(0;0) до точек гиперболы М(х;у) и М 1 (х 1 ;у 1 ) будет равно d .

Тогда d=√х 2 +у 2 , где у=2/х ,

D=√х 2 +4/х 2 .

Х 2 +4/х 2 ≥2 √х 2 ∙4/х 2 ,

Х 2 +4/х 2 ≥4,

√х 2 +4/х 2 ≥2,

D≥2.

Очевидно, что d наим. =2, если х 2 =4/х 2 , х 4 =4, х 1 =√2,

Х 2 =-√2.

Имеем: х=√2, и х=-√2,

У=√2. у=-√2.

Ответ: М 1 (√2;√2 ), М 2 (-√2 ; -√2 ).

5.2. Задачи на экстремумы.

Задача 4. Найдите экстремумы функции у=х 4 -4х 3 +4х 2 .

Решение. О.О.Ф.: х - любое действительное число.

у=х 2 (х 2 -4х+4)=х 2 (х-2) 2 =х·х(2-х)(2-х)

у=0, если х=0; 2.

При 0 ≤ х ≤ 2, 2 – х ≥ 0 , поэтому можно записать

(х+х+2-х+2-х)/4 ≥ 4 √ х 2 (2-х) 2 ,

4 √ х 2 (2-х) 2 ≤ 1,

Х 2 (2-х) 2 ≤ 1,

У ≤ 1.

Находим у max = 1 при х = 2-х, х = 1.

У min = 0 при х = 0; 2.

Задача 5. Найдите экстремальное значение функции у = х 2 - х 3 .

Решение . D(y) = R (ООФ: х -любое действительное число).

У = х 2 -х 3 = х 2 (1-х) = 1/2х 2 (2-2х).

Используем неравенство Коши:

х+х+2-2х/3≥ 3 √х∙х(2-2х),

откуда 3 √х 2 (2-2х)≤2/3

Х 2 (2-2х)≤8/27,

2х 2 (1-х)≤8/27,

2у≤8/27,

у≤4/27 .

Отсюда можно сделать вывод: у max = 4/27 при х = 2-2х, т.е. при х = 2/3.

Ответ:y max = 4/27.

5.3. Использование свойство монотонности среднего степенного.

Задача 6 . Найти наибольшее и наименьшее значение функции

У = (1+х) n +(1-х) n на [-1;1].

Решение. Воспользовавшись свойством монотонности среднего степенного, получим:

(((1+х) n +(1-х) n )/2) 1/ n ≥((1+х)+(1-х))/2=1.

Значит у min = 2.

При х = 0.

Для нахождения наибольшего значения функции воспользуемся очевидными неравенствами:

((1+х)/2) n ≤(1+х) и ((1-х)/2) n ≤(1-х) (так как по условию 0≤(1+х) и 0≤(1-х)≤1 ). Сложив эти неравенства, получим:

Y max = 2 n .

Задача 7. Точка М лежит внутри треугольника, АВС - расстояние от М до стороны треугольника, НКР – соответствующие высоты. Найдите наименьшее значение выражения:

(А/Н) α +(В/К) α +(С/Р) α при α≥1.

Решение. Имеем 2S =aA+bB+cC=aH=bК=сР , где S – площадь треугольника. Разделим обе части равенства aA+bB+cC=aH на аН :

А/Н+ (b/a)(В/Н)+(с/а)(С/Н)=1, так как (b/a)=(Н/К) и (с/а)=(Н/К), то А/Н+В/К+С/Р=1.

В сумме свойства монотонности среднего степенного, получаем:

(А/Н) α +(В/К) α +(С/Р) α ≥3(⅓) α =1/3 α -1 при α≥1.

Значит, наименьшее значение данного выражения равно 1/3 α -1.

5.4. Применение неравенства Коши – Буняковского.

Задача 8. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции u = х 1 у 1 +х 2 у 2 +…+х n у n , если известно, что х 1 2 +х 2 2 +…+х n 2 ≤а 2 , у 1 2 +у 2 2 +…+у n 2 ≤b 2 , где а,b – положительные числа.

Решение. В силу неравенства Коши – Буняковского

(х 1 у 1 +х 2 у 2 +…+х n у n ) 2 ≤(х 1 2 +х 2 2 +…+х n 2 )∙(у 1 2 +у 2 2 +…+у n 2 ) или u 2 ≤a 2 b 2 , откуда - ab≤u≤ab . Значит, u min =-ab, u max =ab.

5.5 Геометрические задачи на максимумы и минимумы.

Задача 9. Дана плоскость поверхности ящика; найдите максимум его объема.

Решение. Ящик – прямоугольный параллелепипед. Пусть а,b,c – длины трех ребер ящика, выходящие из одной и той же вершины, S – площадь поверхности, V – объем.

Очевидно, S=2(аb+ac+bc), V=abc. Заметим, что аb+ac+bc = S/2, аb∙ac∙bc = V 2 .

По теореме о средних V 2 =(abc)‹((аb+ac+bc)/3) 3 =(S/6) 3 , если не выполняется равенство аb=ac=bc, или a=b=c.

Иначе говоря, V‹(S/6) 3/2 , если ящик не являлся кубом, когда осуществляется равенство. Результат можно выразить в двух различных (хотя по существу эквивалентных) формах:

1) из всех ящиков с данной площадью поверхности куб имеет наибольший объем;

2) всех ящиков с данным объемом куб имеет наименьшую площадь поверхности.

Задача 10 . Найдите среди всех треугольников с заданным периметром тот, чья площадь наибольшая.

Решение . Если обозначим стороны произвольного треугольника символами x, y и z , то по условию 0‹х‹у+z, 0‹у‹х+z, 0‹z‹х+у и х+у+z=2р , где фиксированное число р›0 . Требуется определить наибольшее значение выражения S=√р(р-а)(р-b)(р-с)=√р∙√(р-а)(р-b)(р-с) . Неравенство Коши немедленно дает 3 √(р-а)(р-b)(р-с)≤((р-а)+(р-b)+(р-с))/3=р/3, т.е . S≤√р∙√(р/3) 3 =р 2 /3√3 , причем равенство достигается тогда и только тогда, когда р-а=р-b=р-с , т.е. для равностороннего треугольника.

Задача 11 . Из гранита нужно вырубить постамент в форме прямоугольного параллелепипеда, высота которого должна быть равна диагонали основания, а площадь основания должна быть равна 4м 2 . При каких длинах сторон основания площадь поверхности постамента будет наименьшей?

Решение. Обозначим символами х и у длины (в метрах) сторон прямоугольника, лежащего в основании постамента. Тогда высота постамента h=√х 2 +у 2 , а площадь поверхности S=2(х+у)√ х 2 +у 2 +8, причем ху=4 и х,у - положительные числа. Так как х∙у=4, х›0, у›0 , то неравенство Коши дает, что х+у≥2√ху=4 , а х 2 +у 2 ≥2ху=8 , т.е. √х 2 +у 2 ≥√ 8. Следовательно, S≥8+16√2 (м 2 ), причем равенство, очевидно, достигается при х=у=2.

6. Заключение. Я показала не традиционный способ решения целого ряда задач на нахождение экстремумов функции с помощью замечательного неравенства Коши. Такой способ является удобным и во многих случаях более простым и быстрым решением задач на максимум и минимум без обращения к нахождению к производной данной функции.

1. Введение.

2 . Неравенство Коши, его частные случаи .

3.Свойство монотонности среднего степенного.

4. Теоремы о постоянной сумме и постоянном произведении.

5. Решение задач.

6. Заключение.

7. Список литературы.

7. Список литературы .

1. В. К. Смышляев. Практикум по решению задач школьной математики. Просвещение, 1978.

2. Д. Пойа. Математика и правдоподобные размышления. Наука, 1975.

3. С. И. Туманов. Поиски решения задачи. Просвещение, 1967.

4. А. В. Ефремов, М. А. Ефремов, С. А. Загидуллина. Особые применения решения экстремальных задач. Магариф, 2003.

5. С. А. Гомонов. Замечательные неравенства: способы получения и примеры применения. Дрофа, 2005.

]). Авторы объясняют появление этого названия тем, что одним из краеугольных камней излагаемой теории является неравенство между средним геометрическим и средним арифметическим и его обобщения. Добавим также, что первоначальной базой для ГП послужили некоторые геометрические задачи и методы их решения. Именно геометрия с древнейших времен занималась, в частности, решением задач на отыскание фигур, обладающих определенными экстремальными свойствами. Для решения таких задач часто использовалось геометрическое неравенство Коши и его обобщения. Одной из самых известных задач этого класса является, так называемая, задача Дидоны .

Задача Дидоны

Задача Дидоны , или классическая изопериметрическая задача, формулируется следующим образом: среди замкнутых плоских кривых, имеющих заданную длину, найти кривую, охватывающую максимальную площадь .

Эту задачу связывают с именем Дидоны - основательницы города Карфаген и его первой царицы. Согласно легенде, финикийская царевна Дидона (Элисса), спасаясь от преследований своего брата, царя Тира, отправилась на запад вдоль берегов Средиземного моря искать себе прибежище. Ей приглянулось место на побережье нынешнего Тунисского залива. Дидона вступила в переговоры с местным предводителем Ярбом о продаже земли. Запросила она совсем немного - столько, сколько можно окружить бычьей шкурой . Дидоне удалось уговорить Ярба. Сделка состоялась, и тогда хитроумная Дидона изрезала шкуру быка, которую ей предоставили местные жители, на узкие полоски, связала их и окружила территорию, на которой основала крепость, а вблизи от нее - город Карфаген.

Если учесть, что Дидона выбирала участок, примыкающий к берегу моря, то задачу, стоящую перед Дидоной, можно сформулировать так: какой формы должна быть кривая длины , чтобы площадь фигуры, ограниченная этой кривой и заданной линией , была наибольшей. В предположении, что - прямая линия, решением задачи является полуокружность длины .

Неравенство Коши

Решение частного случая задачи Дидоны, когда требуется определить, какой из прямоугольников заданного периметра имеет наибольшую площадь , было известно еще математикам Древней Греции. Более того, эта геометрическая задача считается самой древней задачей на экстремум . Решение этой задачи приведено в VI книге "Начал" Евклида, где доказывается, что если рассмотреть прямоугольник и квадрат одного и того же периметра, то площадь квадрата будет больше площади прямоугольника.

Решение задачи Дидоны для прямоугольников и некоторых других частных случаев этой задачи легко получить с помощью неравенства Коши , которое устанавливает, что среднее арифметическое неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического:

Равенство достигается только при .

Доказательство неравенства Коши в общем виде занимает много места, поэтому здесь мы приведем доказательство этого неравенства только при :

Покажем теперь на примерах, как неравенство Коши может быть использовано для решения оптимизационных геометрических задач.

Пример 1 (задача Дидоны для прямоугольников) . Найдем длины сторон прямоугольника с периметром , имеющего наибольшую площадь .

Обозначим длины сторон прямоугольника через и , а его площадь - через . Тогда математическая модель задачи примет вид:

при ограничениях:

Воспользуемся неравенством Коши при :

Неравенство (2) обращается в равенство при . Таким образом, прямоугольником наибольшей площади, имеющим заданный периметр , является квадрат, длина стороны которого равна .

Пример 2 (обратная задача Дидоны для прямоугольников) . Найдем длины сторон прямоугольника с площадью , имеющего наименьший периметр .

Используем обозначения, введенные в примере 1. Тогда математическая модель задачи примет вид:

при ограничениях:

Из неравенства (1) вытекает, что

Следовательно, . Это неравенство обращается в равенство при . Таким образом, прямоугольником наименьшего периметра, имеющим заданную площадь , является квадрат, длина стороны которого равна .

Пример 3 (задача Дидоны для параллелепипедов) . Площадь поверхности параллелепипеда равна . Определим, при каких длинах сторон его объем будет максимальным .

Обозначим длины сторон параллелепипеда через , и , а его объем - через . Тогда математическая модель задачи примет вид:

при ограничениях:

Воспользуемся неравенством Коши при для чисел , и :

Неравенство (4) обращается в равенство при , откуда следует: . Из (3) имеем: . При этом максимальный объем

Таким образом, параллелепипед максимального объема с площадью поверхности имеет форму куба со стороной . Аналогично можно показать, что параллелепипед объема c минимальной площадью поверхности имеет форму куба.

Пример 4 (задача Дидоны для треугольников) . Найдем длины сторон треугольника с периметром , имеющего наибольшую площадь .

Обозначим длины сторон треугольника через , и . Площадь треугольника вычислим по формуле Герона. Математическая модель задачи примет вид

при ограничениях:

Воспользуемся неравенством Коши при для чисел , , :

Отсюда следует

Из (5) получим

Неравенство (13) обращается в равенство при , т. е. при условии . Из (6) получим

Таким образом, треугольником с периметром , имеющим наибольшую площадь , является равносторонний треугольник со стороной .

При решении более сложных задач применяется также геометрическое неравенство или обобщенное неравенство Коши , которое непосредственно связано с двойственностью в ГП (см. лекцию 4):

(8)

Используя неравенство (8), можно доказать две теоремы, которые широко применяются для оценивания нелинейных функций.

Теорема 1 Решением экстремальной задачи

при ограничениях

является вектор с компонентами