Презентация на тему "выигрышная стратегия". Существует ли абсолютно выигрышная стратегия

один или три в два раза . Например, имея кучу из 15 камней, за один ход можно получить кучу из 16, 18 или 30 камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 28.

Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу, в которой будет 28 или больше камней.

В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 27.

Задание 1

Задание 2

– Петя не может выиграть за один ход;

– Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Задание 3

Укажите значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Для указанного значения S опишите выигрышную стратегию Вани.

Постройте дерево всех партий, возможных при этой выигрышной стратегии Вани (в виде рисунка или таблицы). На рисунке на рёбрах дерева указывайте, кто делает ход; в узлах – количество камней в позиции.

один в два раза . Например, пусть в одной куче 6 камней, а в другой 9 камней; такую позицию в игре будем обозначать (6, 9). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: (12, 9), (7, 9), (6, 10), (6, 18). Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 81. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, что в кучах всего будет 81 или больше камней.

Например, при начальных позициях (21, 30) и (41, 20) выигрышная стратегия есть у Пети. Чтобы выиграть, ему достаточно удвоить количество камней во второй куче.

Задание 1

Для каждой из начальных позиций (10, 35), (6, 37) укажите, кто из игроков имеет выигрышную стратегию. В каждом случае опишите выигрышную стратегию; объясните, почему эта стратегия ведёт к выигрышу, и укажите, какое наибольшее количество ходов может потребоваться победителю для выигрыша при этой стратегии.

Задание 2

Для каждой из начальных позиций (10, 34), (5, 37), (6, 36) укажите, кто из игроков имеет выигрышную стратегию. В каждом случае опишите выигрышную стратегию; объясните, почему эта стратегия ведёт к выигрышу, и укажите, какое наибольшее количество ходов может потребоваться победителю для выигрыша при этой стратегии.

Задание 3

Для начальной позиции (5, 36) укажите, кто из игроков имеет выигрышную стратегию. Опишите выигрышную стратегию; объясните, почему эта стратегия ведёт к выигрышу, и укажите, какое наибольшее количество ходов может потребоваться победителю для выигрыша при этой стратегии. Постройте дерево всех партий, возможных при указанной Вами выигрышной стратегии. Представьте дерево в виде рисунка или таблицы.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один , три или двадцать камней. Например, имея кучу из 12 камней, за один ход можно получить кучу из 13, 15 или 32 камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока - значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника.

Выполните следующие задания. Во всех случаях обосновывайте свой ответ.

Задание 1

б) Укажите такое значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом. Опишите выигрышную стратегию Вани.

Задание 2

Задание 3

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень или увеличить количество камней в куче в два раза . Например, пусть в одной куче 10 камней, а в другой 7 камней; такую позицию в игре будем обозначать (10, 7). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: (11, 7), (20, 7), (10, 8), (10, 14). Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 73. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, что в кучах всего будет 73 камня или больше.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока – значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. Например, при начальных позициях (6, 34), (7, 33), (9, 32) выигрышная стратегия есть у Пети. Чтобы выиграть, ему достаточно удвоить количество камней во второй куче.

Задание 1.

Для каждой из начальных позиций (6, 33), (8, 32) укажите, кто из игроков имеет выигрышную стратегию. В каждом случае опишите выигрышную стратегию; объясните, почему эта стратегия ведёт к выигрышу, и укажите, какое наибольшее количество ходов может потребоваться победителю для выигрыша при этой стратегии.

Задание 2.

Для каждой из начальных позиций (6, 32), (7, 32), (8, 31) укажите, кто из игроков имеет выигрышную стратегию. В каждом случае опишите выигрышную стратегию; объясните, почему эта стратегия ведёт к выигрышу, и укажите, какое наибольшее количество ходов может потребоваться победителю для выигрыша при этой стратегии.

Задание 3.

Для начальной позиции (7, 31) укажите, кто из игроков имеет выигрышную стратегию. Опишите выигрышную стратегию; объясните, почему эта стратегия ведёт к выигрышу, и укажите, какое наибольшее количество ходов может потребоваться победителю для выигрыша при этой стратегии. Постройте дерево всех партий, возможных при указанной Вами выигрышной стратегии. Представьте дерево в виде рисунка или таблицы.

Два игрока, Петя и Вася, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или три камня или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, имея кучу из 12 камней, за один ход можно получить кучу из 13, 15 или 24 камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 100. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу, в которой будет 100 или больше камней.

В начальный момент в куче было S камней, 1 < S < 99.

Выполните следующие задания. Во всех случаях обосновывайте свой ответ.

Задание 1

а) Укажите все такие значения числа S, при которых Петя может выиграть в один ход. Обоснуйте, что найдены все нужные значения S, и укажите выигрывающие ходы.

б) Укажите такое значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Вася может выиграть своим первым ходом. Опишите выигрышную стратегию Васи.

Задание 2

Укажите два таких значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Вася.

Для каждого указанного значения S опишите выигрышную стратегию Пети.

Задание 3

Укажите значение хотя бы одно значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

У Васи есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

У Васи нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Для указанного значения S опишите выигрышную стратегию Васи. Постройте дерево всех партий, возможных при этой выигрышной стратегии Васи (в виде рисунка или таблицы). На рисунке на рёбрах дерева указывайте, кто делает ход; в узлах - количество камней в позиции.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или три камня или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, имея кучу из 12 камней, за один ход можно получить кучу из 13, 15 или 24 камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 40. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 40 или больше камней.

В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 39.

Выполните следующие задания. Во всех случаях обосновывайте свой ответ.

Задание 1

а) Укажите все такие значения числа S, при которых Петя может выиграть в один ход. Обоснуйте, что найдены все нужные значения S, и укажите выигрывающий ход для каждого указанного значения S.

Задание 2

Укажите два таких значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём (а) Петя не может выиграть за один ход и (б) Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня. Для каждого указанного значения S опишите выигрышную стратегию Пети.

Задание 3

Укажите значение S, при котором:

у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети, и у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Для указанного значения S опишите выигрышную стратегию Вани. Постройте дерево всех партий, возможных при этой выигрышной стратегии Вани (в виде рисунка или таблицы). На рисунке на рёбрах дерева указывайте, кто делает ход; в узлах - количество камней в куче.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или три камня или увеличить количество камней в куче в два раза . Например, имея кучу из 10 камней, за один ход можно получить кучу из 11, 13 или 20 камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 29. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 29 или больше камней.

В начальный момент в куче было S камней, 1 ⩽ S ⩽ 28.

Выполните следующие задания. Во всех случаях обосновывайте свой ответ.

Задание 1

Задание 2

Петя не может выиграть за один ход;

Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Для каждого указанного значения S опишите выигрышную стратегию Пети.

Задание 3

Укажите хотя бы одно значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

У Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

У Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу два или четыре камня или увеличить количество камней в куче в два раза . Например, имея кучу из 10 камней, за один ход можно получить кучу из 12, 14 или 20 камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 62.

Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 62 или больше камней.

В начальный момент в куче было S камней, 2 ≤ S ≤ 60, S чётное.

Выполните следующие задания. Во всех случаях обосновывайте свой ответ.

Задание 1

Задание 2

Задание 3

Укажите значение S, при котором:

У Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети, и

У Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или два камня или увеличить количество камней в куче в три раза . Например, имея кучу из 9 камней, за один ход можно получить кучу из 10, 11 или 27 камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 33. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 33 или больше камней.

В начальный момент в куче было S камней, 1 ⩽ S ⩽ 32.

Выполните следующие задания. Во всех случаях обосновывайте свой ответ.

Задание 1

Задание 2

Задание 3

Укажите значение S, при котором:

У Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети, и

У Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или два камня или увеличить количество камней в куче в два раза . Например, имея кучу из 12 камней, за один ход можно получить кучу из 13, 14 или 24 камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 35.

Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 35 или больше камней.

В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 34.

Выполните следующие задания. Во всех случаях обосновывайте свой ответ.

Задание 1

Задание 2

Задание 3

Укажите значение S, при котором:

У Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети, и

У Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

В сети Интернет собрано уже огромное количество всевозможных хитроумных стратегий, сулящие заоблачные доходы и делающие по 1000% годовых на рынке Forex. Но насколько серьезно можно относиться к торговым системам и на что объективно они способны?

Разумеется, любая стратегия – это всего лишь алгоритм действий в зависимости от сложившийся на рынке ситуации. Причем стратегии, реализованные в виде торговых систем, т.е. в виде готовых к применению алгоритмов, могут учитывать в своей работе только данные временных рядов изменения цен валютных пар. И не способны воспринимать и анализировать более сложные виды информации, например события мира, новости, смотреть телепередачи и т.п. Может ли алгоритм, программа, обеспечить трейдера доходом, хотя бы с 90% вероятностью?

Давайте предположим, что такая торговая система существует. И она есть у всех желающих, а значит, практически у каждого. Что же в итоге произойдет на фондовом рынке? Почти все начнут выигрывать! Богатеть! И при этом, ничего не делая! Это значит, что дилинговые центры, работающие по принципу «букмекерских» контор, просто разорятся и закроются, а реальные игроки биржи исчерпают все денежные средства, витающие на фондовом рынке, и по идее, должны продолжать зарабатывать, но тогда за счет кого? Ведь денег то на рынке уже не будет! Парадокс? Да. А значит такой ситуации в принципе не может быть. Не может произойти так, чтобы выигрывали все, т.к. любой выигрыш складывается из проигрышей других участников рынка и в этом и заключается баланс данной системы. Но этот баланс подразумевает проигрыш большинства трейдеров, т.к. другая часть выигрывает значительные средства по сравнению со своими начальными вложениями.

Все вышесказанное однозначно ставит крест на создании «святого Грааля» при разработке торговых систем или абсолютных торговых стратегий! Их не может быть! Также как не может быть и вечного двигателя. Успешный трейдер это тот, кто может быстро менять свою стратегию в зависимости от коньюктуры рынка, таким образом, подстраиваясь под него. Если же слепо следовать одной стратегии или использовать одну торговую систему, то вряд ли такого трейдера будет ждать успех на длительном промежутке времени.

Но что если Вы разрабатываете успешную торговую систему и пользуетесь ею единолично? Тогда будет так, что Вы постоянно выигрываете, а другие проигрывают, отдавая Вам свои кровные и баланс сохранен! В принципе, здесь на самом деле не видно никаких противоречий. Если Вы являетесь единоличным обладателем уникальной стратегии, то пока она только у вас в руках, то почему бы с помощью нее и не выигрывать? Но определенно, такая «работающая» система ни в коем случае не может продаваться, т.к. в этом случае ею будут пользоваться повсеместно и баланс выигрышей и проигрышей уже не сможет соблюдаться. Таким образом получается, что любая распространяемая торговая система может успешно работать лишь непродолжительный период времени, пока рынок сам собой так не изменится, что ее работа будет под вопросом. Поэтому лучше использовать свои, индивидуальные подходы к торговле на форексе и держать их в секрете!

Из всего вышесказанного можно сделать один важный вывод: любая распространяемая торговая система не может гарантировать Вам пожизненный заработок на рынке Forex. Даже если, на истории графиков она дает вполне хорошие результаты, т.к. разработка подобных систем сродни разработке «вечного двигателя».

На предыдущих уроках мы познакомились с алгоритмами, научились составлять алгоритмы. Кроме того, мы научились записывать алгоритмы в виде блок-схем, а также работать с самими блок-схемами.

На этом уроке мы обсудим логические игры и составление алгоритмов для выигрышных стратегий в них.

Одним из залогов успеха этой игры является то, что она не имеет известного на данный момент выигрышного алгоритма.

Это связано с тем, что правила шахмат достаточно сложны - существует 6 видов фигур, количество фигур одного вида различно, а, кроме того, у каждой фигуры свои правила хода. Таким образом, сформулировать простой алгоритм выигрыша в шахматы на данный момент не удалось.

С другой стороны, как только это произойдет, шахматы перестанут быть столь привлекательной для многих игрой.

Существует множество книг по теории шахмат. Есть описания различных тактик - защитной, атакующей.

Шахматную партию принято делить на три части - дебют (начало), миттельшпиль (середина) и эндшпиль (конец). Вполне логично, что большая часть моделей игры создана для дебюта (от классического е2-е4 и «детского мата» до сицилийской защиты). Дебют закладывает основу всей партии, а, кроме того, в самом начале на доске находятся все фигуры и известно их местоположение. Поэтому его изучение не так сложно, как изучение миттельшпиля. Представьте себе, что часть фигур уже сбита, остальные расположены в произвольном порядке на доске. Описать такую ситуацию достаточно тяжело.

Другое дело - эндшпиль. В конце партии на доске остаются считаные фигуры - обычно короли и несколько фигур + пешки. Описывать такие ситуации несколько проще.

Проблема создания алгоритма для игры в шахматы возникла с созданием компьютерной программы, которая должна была обыграть человека.

История шахматных машин старше, чем история компьютеров. Идея создать машину, играющую в шахматы, датируется еще восемнадцатым веком. Около 1769 года появился шахматный автомат «Механический турок». Он был предназначен для развлечения королевы Марии-Терезии. Машина действительно неплохо играла — внутри нее находился сильный шахматист, который и делал ходы.

В 1951 году Алан Тьюринг написал алгоритм, с помощью которого машина могла бы играть в шахматы, только в роли машины выступал сам изобретатель. Этот нонсенс даже получил название - «бумажная машина Тьюринга». Человеку требовалось более получаса, чтобы сделать один ход. Алгоритм был довольно условный, и сохранилась даже запись партии, где «бумажная машина» Тьюринга проиграла одному из его коллег. За отсутствием доступа к компьютеру, программа ни разу не проверялась в работе.

Следующим шагом в развитии шахматного программирования стала разработка в ядерной лаборатории Лос-Аламоса в 1952 году на компьютере Maniac 1 (тактовая частота 11 кГц) шахматной программы для игры на доске 6 x 6, без участия слонов. Известно, что этот компьютер сыграл одну партию против сильного шахматиста, она продолжалась 10 часов и закончилась победой шахматиста. Еще одна партия была сыграна против девушки, которая недавно научилась играть в шахматы. Машина победила на 23-м ходу. Сейчас это выглядит смешно, но для своего времени это было большое достижение.

В 1994 Гарри Каспаров (рис. 9) проиграл программе Fritz 3 турнирную блиц-партию в Мюнхене. Программа также выиграла у Вишванатана Ананда, Бориса Гельфанда и Владимира Крамника. Гроссмейстер Роберт Хюбнер отказывался играть против программы и автоматически проиграл. Каспаров сыграл второй матч с Fritz и победил с 4 выигрышами и 2 ничьими.

Рис. 9. Гарри Каспаров ()

В феврале 1996 года Гарри Каспаров победил шахматный суперкомпьютер Deep Blue со счетом 4-2. Этот матч необычен тем, что первую партию выиграл Deep Blue, автоматически став первым компьютером, победившим чемпиона мира по шахматам в турнирных условиях (рис. 10).

Рис.10. Шахматный суперкомпьютер Deep Blue ()

Крестики-нолики

Игра в крестики-нолики известна практически каждому. В таблице 3 х 3 участники по очереди расставляют крестики и нолики (каждый - свои символы). Выиграет тот, кто получит в ряду, столбце или диагонали три крестика или три нолика. Попытаемся узнать - кто выиграет при правильной игре.

Рис. 11. Крестики-нолики ()

На самом деле, при правильной игре всегда будет ничья.

Докажем, что первый игрок может обеспечить себе «непроигрыш». Для этого достаточно поставить первым ходом крестик в центр таблицы. А затем ходить так, чтобы у второго ни в одной строке или столбце не оказывалось больше 2 ноликов. То, что это можно сделать, легко доказать с помощью перебора.

Аналогично и второй игрок: если первый игрок походит не в центр, то походить в центр, а дальше действовать аналогично написанному выше для первого игрока. Если первый походит в центр, то занять один из углов, а затем действовать аналогично написанному выше для первого игрока.

Существует более общая стратегия, однако ее описание достаточно громоздко.

Интереснее, с точки зрения алгоритма, игра в крестики-нолики, которая называется «хожу чем хочу», то есть когда каждый из игроков выбирает сам - крестик ему ставить или нолик (на любом из ходов). В этом случае всегда побеждает первый. Опишем алгоритм выигрыша:

1. Ставим крестик в середину.

2. Если второй игрок ставит крестик, то крестиком закрываем линию.

3. Если второй игрок ставит нолик в углу, то ставим нолик в противоположном углу. Любой следующий ход второго игрока - и мы закрываем линию.

4. Если второй игрок ставит нолик не в углу, то ставим нолик симметрично относительно центральной клетки. Второму игроку ничего не остается, как поставить ноли в еще одной неугловой клетке, на что мы отвечаем ноликом в 4-й неугловой клетке. Куда бы ни походил теперь второй игрок, первый игрок выиграет.

У крестиков-ноликов существует ряд модификаций. Одна из наиболее популярных - игра на бесконечном поле, где надо собрать линию из 5 одинаковых символов.

Игры без алгоритма

Существует целый ряд задач, в которых необходимо не найти выигрышный алгоритм, а доказать, что его не существует или, наоборот, он существует.

Рассмотрим пример такой задачи.

Есть три кучки камней: 10, 15 и 20 камней соответственно. За ход разрешается разделить любую кучку на две меньшие. Проиграет тот, кто не сможет сделать ход. Кто выиграет при правильной игре?

Всего в кучках 45 камней. Игра закончится только тогда, когда все камни будут лежать по отдельности, то есть будет 45 кучек по 1 камню в каждой. За каждый ход количество кучек увеличивается на 1. Изначально кучек 3, должно получиться 45. Значит, всего будет сделано 42 хода. Так как количество ходов четное, то последним сделает ход второй игрок. Значит, проиграет первый игрок.

Ответ: выиграет второй игрок.

Список литературы

1. Босова Л.Л. Информатика и ИКТ: учебник для 6 класса. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012.

2. Босова Л.Л. Информатика: рабочая тетрадь для 6 класса. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2010.

3. Босова Л.Л., Босова А.Ю. Уроки информатики в 5-6 классах: методическое пособие. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2010.

1. Интернет портал «Фестиваль педагогических идей» ()

2. Интернет портал «Наша сеть» ()

3. Интернет портал «Хостинг презентаций» ()

Домашнее задание

1. §3.1., 3.4 (Босова Л.Л. Информатика и ИКТ: учебник для 6 класса)

2. Львенок и Черепаха решили сыграть в крестики-нолики (рис. 12).

Рис. 12. Львенок и Черепаха. ()

Черепаха ставила крестики, а Львенок - нолики (рис. 13).

Рис.13. Заготовки для крестиков-ноликов

Кто сколько ходов сделал? Чей ход следующий?
- Где Львенок должен поставить нолик, чтобы выиграть? (в первой игре - по диагонали).
- Как можно определить победителя второй игры? (выиграет тот, чей ход следующий).
- В третьей игре у соперников возникла проблема: они сделали уже по три хода, а победитель еще не определился. Кто победит в этой игре? (Никто, так как трех последовательных фигур уже не получится).
- Рассмотрите игру № 4. Кто выигрывает? (Львенок, так как ему осталось только поставить один нолик).
- Но следующий ход делает Черепаха… Представьте, что Черепаха попросила вас о помощи. В какой клетке нужно поставить ей крестик, чтобы помешать Львенку выиграть? (второй столбец, последняя строка).
- В каком случае в этой игре выиграет Черепаха? (Если Львенок ошибется в последнем ходе и поставит нолик в верхней строке, тогда у Черепахи будет три крестика в нижней строке).

3. Сформулируй правила (секреты) выигрышной стратегии.

Тема : Дерево игры. Поиск выигрышной стратегии.

Что нужно знать :

· в простых играх можно найти выигрышную стратегию, просто перебрав все возможные варианты ходов соперников

· для примера рассмотрим такую игру: сначала в кучке лежит 5 спичек; два игрока убирают спички по очереди, причем за 1 ход можно убрать 1 или 2 спички; выигрывает тот, кто оставит в кучке 1 спичку

· первый игрок может убрать одну спичку (в этом случае их останется 4), или сразу 2 (останется 3), эти два варианта можно показать на схеме:

· если первый игрок оставил 4 спички, второй может своим ходом оставить 3 или 2; а если после первого хода осталось 3 спички, второй игрок может выиграть, взяв две спички и оставив одну:

· если осталось 3 или 2 спички, то 1-ый игрок (в обеих ситуациях) выиграет своим ходом:

· простроенная схема называется «деревом игры», она показывает все возможные варианты, начиная с некоторого начального положения (для того, чтобы не загромождать схему, мы не рисовали другие варианты, если из какого-то положения есть выигрышный ход)

· в любой ситуации у игрока есть два возможных хода, поэтому от каждого узла этого дерева отходят две «ветки», такое дерево называется двоичным (если из каждого положения есть три варианта продолжения, дерево будет троичным )

· проанализируем эту схему; если первый игрок своим первым ходом взял две спички, то второй сразу выигрывает; если же он взял одну спичку, то своим вторым ходом он может выиграть, независимо от хода второго игрока

· кто же выиграет при правильной игре? для этого нужно ответить на вопросы: 1) «Может ли первый игрок выиграть, независимо от действий второго?», и 2) «Может ли второй игрок выиграть, независимо от действий первого?»

· ответ на первый вопрос – «да»; действительно, убрав всего одну спичку первым ходом, 1-ый игрок всегда может выиграть на следующем ходу

· ответ на второй вопрос – «нет», потому что если первый игрок сначала убрал одну спичку, второй всегда проиграет, если первый не ошибется

· таким образом, при правильной игре выиграет первый игрок; для этого ему достаточно первым ходом убрать всего одну спичку

· в некоторых играх, например, в рэндзю (крестики-нолики на бесконечном поле) нет выигрышной стратегии, то есть, при абсолютно правильной игре обоих противников игра бесконечна (или заканчивается ничьей); кто-то может выиграть только тогда, когда его соперник по невнимательности сделает ошибку

· полный перебор вариантов реально выполнить только для очень простых игр; например, в шахматах сделать это за приемлемое время не удается (дерево игры очень сильно разветвляется, порождая огромное количество вариантов)

· все позиции в простых играх делятся на выигрышные и проигрышные

· выигрышная позиция – это такая позиция, в которой игрок, делающий первый ход, может гарантированно выиграть при любой игре соперника, если не сделает ошибку; при этом говорят, что у него есть выигрышная стратегия – алгоритм выбора очередного хода, позволяющий ему выиграть

· если игрок начинает играть в проигрышной позиции, он обязательно проиграет, если ошибку не сделает его соперник; в этом случае говорят, что у него нет выигрышной стратегии; таким образом, общая стратегия игры состоит в том, чтобы своим ходом создать проигрышную позицию для соперника

· выигрышные и проигрышные позиции можно охарактеризовать так:

Позиция, из которой все возможные ходы ведут в выигрышные позиции – проигрышная ;

Позиция, из которой хотя бы один из возможных ходов ведет в проигрышную позицию - выигрышная , при этом стратегия игрока состоит в том, чтобы перевести игру в эту проигрышную (для соперника) позицию.

Пример задания:

P-05. Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может

а) добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень или

б) увеличить количество камней в куче в два раза .

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 24. Если при этом в куче оказалось не более 38 камней, то победителем считается игрок, сделавший последний ход. В противном случае победителем становится его противник. Например, если в куче был 21 камень и Петя удвоит количество камней в куче, то игра закончится и победителем будет Ваня. В начальный момент в куче было S камней, 1

Задание 1. а) При каких значениях числа S Петя может выиграть в один ход? Укажите все такие значения и соответствующие ходы Пети.

б) У кого из игроков есть выигрышная стратегия при S = 22, 21, 20? Опишите выигрышные стратегии для этих случаев.

Задание 2 . У кого из игроков есть выигрышная стратегия при S = 11, 10? Опишите соответствующие выигрышные стратегии.

Задание 3 . У кого из игроков есть выигрышная стратегия при S = 9? Постройте дерево всех партий, возможных при этой выигрышной стратегии (в виде рисунка или таблицы). На рёбрах дерева указывайте, кто делает ход; в узлах – количество камней в позиции.

Решение:

1) Задание 1а. Сложность состоит в том, что Петя проиграет, если в результате его хода количество камней станет больше, чем 38. Он может сделать ход «+1» или «*2». Ходом «+1» он сможет получить 24 камня в куче (и таким образом выиграет!) из позиции S = 23.

Теперь проверим ход «*2». Для выигрыша Пети количество камней в результате этого хода должно стать от 24 до 38, поэтому Петя выиграет этим ходом при S от 12 до 19.

2) Задание 1б. При S = 22 возможные ходы дают кучи в 23 и 44 камня. В первом случае (S = 23) противник оказывается в выигрышной позиции (см. предыдущий пункт), во втором случае тот, кто ходит, проигрывает, потому что 44 > 38. Поэтому позиция S = 22 – проигрышная, Петя проиграет, у Вани есть выигрышная стратегия: в случае S = 23 сделать ход «+1» .

При S = 21 Петя может перевести игру в позицию S = 22, она, как мы только что показали, проигрышная для Вани. Поэтому у Пети есть выигрышная стратегия.

При S = 20 ходом «+1» Петя переведет игру в выигрышную (для Вани) позицию, а при ходе «*3» он сразу проиграет, получив 40 > 38 камней. Поэтому выигрышная стратегия есть у Вани.

3) Задание 2. При S = 11 или S = 10 Петя может ходом «*2» перевести игру в позиции S = 22 и S = 20, обе они, как мы показали в предыдущем пункте, проигрышные. Поэтому выигрышную стратегию имеет Петя.

4) Задание 3. При S = 9 возможно 2 хода: ход «+1» приводит к позиции S = 10, она выигрышная (см. предыдущий пункт); ход «*2» приводит к позиции S = 18, она тоже выигрышная (см. первый пункт). Таким образом, все возможные ходы ведут в выигрышные для соперника позиции, и позиция S = 9 – проигрышная (для Пети). Выигрышную стратегию имеет Ваня. При построении дерева для проигрывающего (Пети) указываем все возможные ходы, а для выигрывающего (Вани) – только один выигрышный ход. Дерево можно нарисовать так:

или записать в виде таблицы

Ещё пример задания:

Р-04. Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень или увеличить количество камней в куче в два раза . Например, пусть в одной куче 10 камней, а в другой 7 камней; такую позицию в игре будем обозначать (10, 7). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: (11, 7), (20, 7), (10, 8), (10, 14). Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Решение любой математической задачи-игры сводится к тому, чтобы игроку, который первым начинает, найти выигрышную стратегию . Такая идея присутствует и в математических , и в играх на .

В данной статье мы разберем на конкретных задачах, как рассуждает желающий выиграть.

В большинстве задач на математические игры, чтобы выиграть, игроку на основе заданных правил игры следует разработать свой план действий (стратегию). Для этого он опирается не только на правила игры, но и анализирует теорию, важную для решения задачи.

Задача 1.

Вася и Петя записывают 14-значное число, ставя цифры по очереди, начиная со старшего разряда. Начинает Вася; он выигрывает в том случае, когда получившееся число не делится на 9. В противном же случае выигрывает Петя.

Решение.

Число 14-значное содержит четное число цифр, поэтому последнюю цифру в нем напишет Петя. Чтобы выиграть, Пете надо позаботиться о делимости числа на 9. Если он будет дополнять каждую цифру Васи до 9, т.е. когда Вася пишет 0, то Петя пишет 9 и т.д. Тогда, после каждой такой пары ходов двух игроков сумма цифр увеличивается на 9, и у 14-значного числа она равна 7*9=63. То есть, число разделится на 9. Выиграет Петя.

Как видим, Пете для победы пришлось не только припомнить признаки делимости на 9, но и разработать план своих действий с учетом этого признака.

В играх с числами и количествами рассуждения часто ведутся с конца для поиска начальных выигрышных позиций.

Рассмотрим следующую задачу.
Задача 2.

В кучке 2005 спичек. Двое игроков берут по очереди спички от 1 до 9. Выигрывает тот, который, возьмет последнюю спичку.

Решение.

Чтобы выиграть первому игроку, надо, чтобы перед его последним ходом осталось число спичек, меньшее 10. Тогда ему следует первым ходом взять 5 спичек, чтобы осталось число, кратное 10.
После этого какое бы число от 1 до 9 не взял второй игрок, первый будет это число дополнять до 10. Таким образом, после двух ходов число спичек уменьшается на 10. Игру выигрывает первый игрок.

Измените условие задачи, взяв другое количество спичек (2001, 1207…). Кто тогда выиграет?

Задача 3 «Поставь на «0».

Клетчатая полоска бумаги пронумерована числами 0, 1, 2, 3, 4… На одной из клеток стоит фишка. Двое играющих переставляют фишку влево на 1, 2, 3, 4 клетки. Проигрывает тот, кому ходить некуда(соответственно, выигрывает тот, кто поставит фишку на «0»).

Решение.

Пусть фишка стоит на клетке 13. Начнем рассуждения с конца, с клетки 0. Чтобы попасть в «0», фишка должна стоять на 1, 2, 3 или 4 клетке. Рассмотрим клетку «5». Каким бы способом ни пошел начинающий игрок, фишка после его хода попадет в клетки 4, 3, 2, 1 и не достанет до 0.
Выиграет второй. Клетка 5 - проигрышная для начинающего. Аналогично, клетки 10, 15, 20 и т.д, Начинающий в любом случае выиграет, если будет ставить фишку на клетку, кратную 5, в том случае, если фишка стоит на клетке с номером, не кратным числу 5.
В нашем случае начинающий ставит фишку на 10, потом на 5 и на 0. Но если фишка стоит под номером, кратным 5, тогда этой стратегией может воспользоваться второй игрок и выиграть.

Как видим, при правильной игре результат зависит от того, на какой клетке стоит фишка (кратной 5 или нет).

Измените условия игры.

Например, фишку передвигайте на более чем 1, 2 или 3 клетки. Как изменится стратегия и результат?

Задача 4.

В нижнем левом углу шахматной доски стоит фигура, Одним ходом ее разрешается переместить на одно из трех соседних мест: “вправо”, “вверх”, по диагонали - то есть “вправо-вверх”. Выигрывает тот из двух играющих, кто займет правый верхний угол (ходы делаются по очереди). Кто выиграет при правильной игре: тот, кто начинает, или партнер?

Решение.

Пусть шахматная доска находится в системе координат с началом в нижнем левом углу, как показано на рисунке.

Тогда фигура первоначально имеет координаты (1; 1), а попасть надо в точку с координатами (8; 8). Из нечетных координат надо получить в конце четные. Поэтому для выигрыша нужно как можно раньше занять клетку с четными координатами.

Возможности при первом ходе такие (1; 2) - вверх, (2; 1) - вправо; (2; 2) - по диагонали. Одна или обе координаты увеличиваются на 1.
Начинающий может выиграть. Для этого ему первым ходом надо занять клетку с четными координатами (2; 2) - по диагонали вправо-вверх. Тогда противник вынужден занять клетку (1; 2) или (2; 1), т.е., с одной нечетной координатой или обе нечетные (3; 3) - по диагонали.

Далее начинающему следует занимать клетки только по диагонали. Даже если и противник будет ставить фигуру по диагонали, то координаты его клеток будут (3; 3) -> (5; 5) -> (7; 7), а начинающего (2; 2) -> (4; 4) -> (6; 6) -> (8; 8).

Если противник не будет ставить фигуру на диагональ, то ходы начинающего: (2; 2) -> (3; 3) -> (4; 4) -> (5; 5) -> (6; 6) -> (7; 7) -> (8; 8).

Заняв сразу клетку (2; 2), начинающий выигрывает. Но если эту клетку сразу займет противник, то при правильной игре выиграет он.

Итак, с выигрышной стратегией разнообразны. И требуется опыт, чтобы такие задачи научится решать и выигрывать. Главное, что нужно понять: исход задачи-игры зависит от самого первого верного хода. Но рассуждать, насколько правильным сделать этот первый ход нужно, начиная с конца.

В последующих публикациях будут предложены еще олимпиадные задачи по математике в 7 классе на выигрышные стратегии.

Об авторе

Татьяна Бурмистренко

Мое педагогическое кредо: "Чтобы быть хорошим преподавателем, нужно любить то, что преподаешь, и любить тех, кому преподаешь."

Презентация на тему "выигрышная стратегия". Существует ли абсолютно выигрышная стратегия

Пример задания:

Ещё пример задания:

Об авторе

Гусли садко, древнерусская скрипка и поющие стрелы

Удивительные факты о европе и ее жителях