В обыденной жизни мы часто сталкиваемся со случаями, когда не существует элементарных измеримых свойств и признаков, которые определяют интересующие нас понятия, например, красоту, интеллектуальность. Бывает трудно проранжировать степень проявления свойства у рассматриваемых элементов. Так как степени принадлежности рассматриваются на данном реальном множестве, а не в абсолютном смысле, то интенсивность принадлежности можно определять, исходя из попарных сравнений рассматриваемых элементов.

Среди косвенных методов определения функции принадлежности наибольшее распространение получил метод парных сравнений Саати . Сложность использования этого метода заключается в необходимости нахождения собственного вектора матрицы парных сравнений, которая задается с помощью специально предложенной шкалы. Причем эти сложности увеличиваются с ростом размерности универсального множества , на которой задается лингвистический терм .

Мы рассмотрим метод, также использующий матрицу парных сравнений элементов универсального множества . Но, в отличие от метода Саати, он не требует нахождения собственного вектора матрицы, т.е. освобождает исследователя от трудоемких процедур решения характеристических уравнений .

Пусть - некоторое свойство, которое рассматривается как лингвистический терм . Нечеткое множество , с помощью которого формализуется терм , представляет собой совокупность пар:

Где - универсальное множество , на котором задается нечеткое множество . Задача состоит в том, чтобы определить значения для всех . Совокупность этих значений и будет составлять неизвестную функцию принадлежности.

Метод, который предлагается для решения поставленной проблемы, базируется на идее распределения степеней принадлежности элементов универсального множества согласно с их рангами. Эта идея раньше использовалась в теории структурного анализа систем, где рассмотрены различные способы определения рангов элементов.

В нашем случае под рангом элемента будем понимать число , которое характеризует значимость этого элемента в формировании свойства, описываемого нечетким термом. Допускаем, что выполняется правило: чем больший ранг элемента, тем больше степень принадлежности .

Для последующих построений введем такие обозначения: , . Тогда правило распределения степеней принадлежности можно задать в виде системы соотношений:

Используя данные соотношения, легко определить степени принадлежности всех элементов универсального множества через степень принадлежности опорного элемента.

Если опорным является элемент с принадлежностью , то

Учитывая условие нормирования, находим:

Полученные формулы дают возможность вычислять степени принадлежности элементов к нечеткому терму двумя независимыми путями:

Эта матрица обладает следующими свойствами:

а) она диагональная, т.е.

б) ее элементы, которые симметричны относительно главной диагонали, связаны зависимостью

в) она транзитивна, т.е. .

Наличие этих свойств приводит к тому, что при известных элементах одной строки матрицы легко определить элементы всех других строк. Если известна -я строка, т.е. элементы , , то произвольный элемент находится так:

Поскольку матрица может быть интерпретирована как матрица парных сравнений рангов, то для экспертных оценок элементов этой матрицы можно использовать 9 балльную шкалу Саати. В нашем случае шкала формируется так:

Определение

Под нечётким множеством понимается совокупность , где X - универсальное множество, а - функция принадлежности (характеристическая функция), характеризующая степень принадлежности элемента X нечёткому множеству A.

Функция принимает значения в некотором линейно упорядоченном множестве М. Множество М называют множеством принадлежностей, часто в качестве выбирается отрезок {0,1}. Если, то нечёткое множество может рассматриваться как обычное, чёткое множество. M={0,1}.

Примеры записи нечеткого множества

Пусть E = {x1, x2, x3, x4, x5 }, M = ; A - нечеткое множество, для которого

Тогда A можно представить в виде:

A = {0,3/x1; 0/x2; 1/x3; 0,5/x4; 0,9/x5 } или

A = 0,3/x1 + 0/x2 + 1/x3 + 0,5/x4 + 0,9/x5, или

Замечание . Здесь знак "+" не является обозначением операции

сложения, а имеет смысл объединения.

Характеристическая функция обычного множества - это функция, устанавливающая принадлежность элемента к множеству. Особенность: носит бинарный характер.

f(x)={1, x принадлежит М; 0, x не принадлежит М.

Функция принадлежности - функция, которая позволяет вычислить степень принадлежности производного элемента универсального множества к нечеткому множеству.

Степень принадлежности - это любое число из диапазона Z (например, Z=).

Чем выше степень принадлежности, тем в большей мере элемент универсального множества соответствует свойствам нечеткого множества.

Множество Z называют множеством принадлежностей. Если Z={0,1}, то нечеткое множество F может рассматриваться как обычное (четкое) множество.

2. Какие нечеткие числа называют нормальными, унимодальными и выпуклыми?

Носителем (суппортом) нечёткого множества называется множество

Supp(F)={x|f(x)>0}, для любого x принадлежащего Е.

Нечеткое множество называется пустым, если его носитель тоже пустое множество.

F=пустое множество <=> supp (F)=пустое множество, то есть f(x)=0 для любого x от Е.

Нечеткое множество является унимодальным , если mA(x)=1 лишь для одного x из E.

Элементы x из Е для которых f(x)=0,5 называются точками перехода множества F.

Высотой нечеткого множества F называется верхняя граница его функции принадлежности hgt (F) = sup x из E f(x).

Нечеткое множество F называется нормальным , если его высота равна единицы. В противном случае оно называется субнормальным.

Нормализация - это преображение субнормального нечеткого множества F в нормальное F определяется так:

F=norm (F) <=> f(x)=f(x)/hgt(F), для любого x из Е.

3. Дайте определение Нечеткие числа (L-R)-типа.

Нечеткие числа (L-R)-типа - это разновидность нечетких чисел специального вида, т.е. задаваемых по определенным правилам с целью снижения объема вычислений при операциях над ними.

Нечеткие числа и интервалы, которые наиболее часто используются для представления нечетких множеств в нечетком моделировании, являются нормальными. Однако данные выше определения нечеткого числа и нечеткого интервала слишком общие, что затрудняет их практическое использование. С вычислительной точки зрения удобно использовать более конкретные определения нечетких чисел и интервалов в форме аналитической аппроксима-ции с помощью так называемых (L-R )-функций. Получаемые в результате нечеткие числа и интервалы в форме (L-R) -функций позволяют охватить достаточно широкий класс конкрет-ных функций принадлежности. Определение 6.14. Функция L-muna (а также и R-muna), в общем случае определяется как произвольная функция L: R → и R: /R →, заданная на множестве действительных чисел, невозрастающая на подмножестве неотрицательных чисел R+ и удовлетворяющая следующим дополнительным условиям: L(-x)= L(x), R(-x)=R(x) - условие четности; (6.7) L (0)=R (0) = 1 -условие нормирования. (6.8) Примечание: Иногда в литературе можно встретить еще одно условие, которому долж-ны, по мнению некоторых авторов, удовлетворять функции (L-R )-типа: L (1) = R (1) = 0. По-скольку с одной стороны это условие существенно ограничивает класс функций (L-R )-типа, а с другой стороны, рассматриваемые ниже треугольные нечеткие числа и трапециевидные не-четкие интервалы согласуются с выполнением этого свойства, мы не будем его включать в определение функций (L-R )-типа.

Универсум

Элементы нечеткого множества выбираются (черпаются) из универсального множества или короче универсума . Универсум включает в себя все элементы, которые можно использовать при рассмотрении множества. В частности в выше рассмотренном примере универсумом является множество

U = [ 1 2 3 4 5 6 7 8 ].

Можно сказать, что универсум является областью определения множества , следовательно, и его функции принадлежности. Тем не менее, универсум зависит от контекста, как показывает следующий пример.

Пример 1.3 (универсум) . а) множество «молодые люди» может иметь в качестве универсума всех людей, проживающих на земле. Как альтернативу универсумом можно считать людей, возраст которых лежит между 0 и 100 годами; эти люди будут представлять переменную возраст (рис. 1.3).

Множества «более или менее молодой», «очень молодой» и «не очень молодой» получены из множеств «молодой» и «старый» ;

б) множество x >>10 (x много больше 10 вольт ) может иметь как универсум все положительные результаты измерений напряжения.

Применение универсума позволяет исключить из рассмотрения ошибочные результаты измерений, например отрицательные значения для уровня воды в баке.

В том случае, когда мы имеем дело с нечисловыми переменными, например, с переменной вкус пищи , которые не могут быть измерены в отношении численного масштаба, мы не можем использовать в качестве универсума множество чисел. При этом элементы универсума должны быть взяты, как говорят, из психологического континуума(сплошной среды) ; для данного примера таким универсумом может быть {горький, соленый, кислый, сладк ий,…}.

Определение (нечеткое множество ). Если U есть набор элементов (другими словами, универсум), обозначаемых традиционно x , то нечеткое множество A в U определяется как упорядоченное множество пар:

где называется функцией принадлежности (ФП) x к A .

Каждый элемент в универсуме является членом (элементом) нечеткого множества A с некоторой степенью принадлежности, может быть и с нулевой.

ФП является просто степенью, с которой элемент x принадлежит к множеству A. ФП преобразует универсум U в интервал ,

: U ,

т.е. каждому элементу x универсума U ставит в соответствие определенное число из интервала . Если =0,8, то говорят, что элемент x i на 80% принадлежит нечеткому множеству A .

Нечеткое множество строго определяется с помощью функции принадлежности, другими словами, логика определения понятия нечеткого множества не содержит никакой нечеткости. Четкое множество является частным случаем нечеткого множества, т.е. понятие нечеткого множества является расширенным понятием, охватывающим понятие четкого множества.

Непрерывное и дискретное представления . Существуют два альтернативных представления функций принадлежности в компьютере: непрерывный и дискретный. В непрерывной форме функция принадлежности есть математическая функция, возможно программа. Функция принадлежности может быть колоколообразной (так называемая - кривая ), s- образной (называемая s-кривой ), обратная s- образной (называемая z-кривой ), треугольной или трапециидальной. На рис. 1.2 изображена как пример - кривая . В дискретной форме функция принадлежности и универсум представляют собой дискретные значения (точки) в списке (векторе). В ряде случаев удобно иметь дело с дискретными представлениями.

В соответствии с эмпирическим правилом непрерывная форма требует более быстродействующего, но с меньшей памятью АЦП, чем дискретная форма.

Пример 1.4 (непрерывная форма) . Функция косинуса может быть использована для построения различных функций принадлежности. Так s-кривая может быть описана как

, (1.3)

где a l - левая точка излома, а a r - правая точка излома кривой. z-кривая является зеркальным отражением s-кривой относительно точки (a r - a l)/2 :

. (1.4)

При этом - кривая может быть интерпретирована как комбинация s-кривой и z-кривой, тогда в интервале при условии значения функции принадлежности

одинаковы и максимальны.

На рис. 1.2 изображена - кривая, описываемая функцией

Пример 1.5 (дискретная форма) . Чтобы получить дискретное представление, эквивалентное кривой, изображенной на рис. 1.2, предположим, что универсум U = u представлен дискретными значениями, скажем такими

u = .

Занесем результаты вычислений по формулам (1.3), (1.4) и (1.5) в соответствующий список значений

или в кратком виде,

[ 0 0,04 0,31 0,69 0,96 1 ].

Кстати, символически принято нечеткое множество на универсуме записывать как множество упорядоченных пар,

для непрерывных и дискретных универсумов соответственно. Здесь символы ине имеют никакого отношения к операциям интегрирования и суммирования. Так нечеткое множество, представленное ФП на рис. 1.2, можно записать в виде

Из приведенных примеров мы видим, что конструкция нечеткого множества зависит от двух вещей: выбора подходящего универсума и выбора соответствующей функции принадлежности . Еще раз отметим, что выбор функции принадлежности является в сущности субъективным делом, из чего следует, что выбранные разными людьми функции принадлежности для одного и того же понятия (скажем, «холодный») могут значительно отличаться. Эта субъективность проистекает из неопределенной природы абстрактных понятий и не имеет ничего общего с вероятностью. Поэтому субъективность и неслучайность нечетких множеств являются главным отличием изучения нечетких множеств и теории вероятности. Последняя имеет дело с объективной трактовкой случайных событий (явлений).

Нормализация . Нечеткое множество называется нормализованным , если самое большое значение функции принадлежности, так называемая высота нечеткого множества, равно 1, Вы нормализуете нечеткое множество путем деления каждого элемента его функции принадлежности на упомянутое самое большое значение, a/max(a) . При использовании функций принадлежности различают другие параметры, в частности ядро или сердцевину (см. рисунок ниже).

Ядро или сердцевина нормализованного нечеткого множества A включает все элементы x , для которых =1. Четкое подмножество элементов, имеющих отличную от нуля степень принадлежности, называют основным (опорным) для нечеткого множества или носителем нечеткого множества. Опора или основа нечеткого множества A включает все элементы x , для которых 0.

Введенное определение нечеткого множества (2.1) не накладывает ограничений на выбор функции принадлежности. Однако, на практике целесообразно использовать аналитическое представление функции принадлежности μ A x нечеткого множества A с элементами x , нечетко обладающими определяющим множество свойством R. Типизация функций принадлежности в контексте решаемой технической задачи существенно упрощает соответствующие аналитические и численные расчеты при применении методов теории нечетких множеств. Выделяют следующие типовые функции принадлежности , .

Треугольные функции принадлежности, использующиеся для задания неопределенностей типа: «приблизительно равно», «среднее значение», «расположен в интервале», «подобен объекту», «похож на предмет» и т.п.:

• треугольная и трапецеидальная функции

Trimf x,a,b,c = 0 , x ≤ a ; x - a b - a , a ≤ x ≤ b ; c - x c - b , b ≤ x ≤ c ; 0 , c ≤ x ; trapmf x,a,b,c,d = 0 , x ≤ a ; x - a b - a , a ≤ x ≤ b ; 1 , b ≤ x ≤ c ; d - x d - c , c ≤ x ≤ d ; 0 , d ≤ x ;

Z-образные функции принадлежности, использующиеся для задания неопределенностей типа: «малое количество», «небольшое значение», «незначительная величина», «низкий уровень» и т.п.:

• квадратичный и гармонический Z-сплайны

Zm f 1 x,a,b = 1 , x ≤ a ; 1 - 2 x - a b - a 2 , a < x ≤ a + b 2 ; 2 b - x b - a 2 , a + b 2 < x < b ; 0 , b ≤ x ; zm f 2 x,a,b = 1 , x < a ; 1 2 + 1 2 cos x - a b - a ; a ≤ x ≤ b ; 0 , x > b ;

• Z-сигмоидальная и Z-линейная функции

Sigmf x,a,b = 1 1 + exp - a x - b , a < 0 ; zlinemf x,c,d = 1 , - ∞ < x ≤ c ; d - x b - c , c < x ≤ d ; 0 , x > d ;

S-образные функции принадлежности, использующиеся для задания неопределенностей типа: «большое количество», «большое значение», «значительная величина», «высокий уровень» и т.п.:

• квадратичный и гармонический S-сплайны

Sm f 1 x,a,b = 0 , x ≤ a ; 2 x - a b - a 2 , a < x ≤ a + b 2 ; 1 - 2 b - x b - a 2 , a + b 2 < x < b ; 1 , b ≤ x ; sm f 2 x,a,b = 0 , x < a; 1 2 + 1 2 cos x - b b - a ; a ≤ x ≤ b ; 1 , x > b ;

• S-сигмоидальная и S-линейная функции

Sigmf x,a,b = 1 1 + exp - a x - b , a > 0 ; slinemf x,a,b = 0 , x ≤ a ; x - a b - a , a < x ≤ b ; 1 , x > b ;

П-образные функции принадлежности, использующиеся для задания неопределенностей типа: «приблизительно в пределах от и до», «примерно равно», «около» и т.п.:

• колоколообразная и гауссова функции

Gbellmf x,a,b,c = 1 1 + x - c a 2b ; gaussmf x,σ,c = exp - x - c 2 2σ 2

Существует множество других функций принадлежности нечетких множеств, заданных как композиции вышеупомянутых базовых функций (двойная гауссова, двойная сигмоидальная и т.п.), либо как комбинации по участкам возрастания и убывания (сигмоидально-гауссова, сплайн-треугольная и т.п.).

Функция принадлежности μ A x – это некоторая не вероятностная субъективная мера нечеткости, определяемая в результате опроса экспертов о степени соответствия элемента x понятию, формализуемому нечетким множеством A . В отличие от вероятностной меры, которая является оценкой стохастической неопределенности, имеющей дело с неоднозначностью наступления некоторого события в различные моменты времени, нечеткая мера является численной оценкой лингвистической неопределенности, связанной с неоднозначностью и расплывчатостью категорий человеческого мышления. При построении функции принадлежности μ A x с каждым нечетким множеством A ассоциируется некоторое свойство, признак или атрибут R , который характеризует некоторую совокупность объектов X . Чем в большей степени конкретный объект x ∈ X обладает этим свойством R , тем более близко к соответствующее значение μ A x . Если элемент x ∈ X определенно обладает этим свойством R , то μ A x = 1 , если же x ∈ X определенно не обладает этим свойством R , то μ A x = 0 . Существуют прямые и косвенные методы построения функций принадлежности - .

Прямые методы (наиболее известны методы относительных частот, параметрический, интервальный ) целесообразно использовать для измеримых свойств, признаков и атрибутов, таких как скорость, время, температура, давление и т.п. При использовании прямых методов зачастую не требуется абсолютно точного поточечного задания μ A x . Как правило, бывает достаточно зафиксировать вид функции принадлежности и характерные точки, по которым дискретное представление функции принадлежности аппроксимируется непрерывным аналогом – наиболее подходящей типовой функцией принадлежности.

Косвенные методы (наиболее известен метод парных сравнений ) используются в тех случаях, когда отсутствуют измеримые свойства объектов в рассматриваемой предметной области. В силу специфики рассматриваемых задач при построении нечетких систем автоматического управления, как правило, применяются прямые методы. В свою очередь, в зависимости от числа привлеченных к опросу экспертов как прямые, так и косвенные методы делятся на одиночные и групповые. Наиболее грубую оценку характеристических точек функции принадлежности можно получить путем опроса одного эксперта, который просто задает для каждого значения x ∈ X соответствующее значение μ A x .

Пример. Рассмотрим нечеткое множество A , соответствующее понятию «расход теплоносителя небольшой». Объект x – расход теплоносителя, X 0; x max – множество физически возможных значений скорости изменения температуры. Эксперту предъявляются различные значения расхода теплоносителя x и задается вопрос: с какой степенью уверенности 0 ≤ μ A x ≤ 1 эксперт считает, что данный расход теплоносителя x небольшой. При μ A x = 0 – эксперт абсолютно уверен, что расход теплоносителя x небольшой. При μ A x = 1 – эксперт абсолютно уверен, что расход теплоносителя x нельзя классифицировать как небольшой.

Метод относительных частот. Пусть имеется m экспертов, n 1 из которых на вопрос о принадлежности элемента x ∈ X нечеткому множеству A отвечают положительно. Другая часть экспертов n 2 = m - n 1 отвечает на этот вопрос отрицательно. Тогда принимается μ A x = n 1 n 1 + n 2 = n 1 m .

Пример. Рассмотрим нечеткое множество A , соответствующее понятию «скорость изменения температуры положительная средняя». Объект x – скорость изменения температуры, X - x max ; x max – множество физически возможных значений скорости изменения температуры. Экспертам предъявляются различные значения скорости изменения температуры x и каждому из них задается вопрос: считает ли эксперт, что данная скорость изменения температуры x положительная средняя. Результаты опроса сведены в табл.2.1.

Для непрерывного представления нечеткой переменной используем какую нибудь из П-образных функций принадлежности, например, Гауссову. Из множества гауссовых функций gaussmf x,σ,c = exp - x - c 2 2 σ 2 через характерные точки функции принадлежности: точку перехода μ A 3 = 0,5 и максимум μ A 5 = 1 ; проходит функция с параметрами σ = 1,7 , c = 5 . В качестве альтернативного метода перехода от дискретного ряда точек к непрерывному заданию функции принадлежности можно предложить поиск параметров Гауссовой функции принадлежности, максимально близко аппроксимирующей дискретный ряд по критерию СКО (рис.2.4).

Рис.2.4. Аппроксимация дискретного ряда () непрерывной Гауссовой функцией принадлежности (– по характерным точкам, – – по СКО)

Функция принадлежности μ A (x) ∈ ставит в соответствие каждому числу

x ∈ X число из интервала , характеризующее степень принадлежности решения к подмножеству А.

Т.е. это некоторая не вероятностная субъективная мера нечеткости, определяемая в результате опроса экспертов о степени соответствия элемента x понятию, формализуемому нечетким множеством A. В отличие от вероятностной меры, которая является оценкой стохастической неопределенности, имеющей дело с неоднозначностью наступления некоторого события в различные моменты времени, нечеткая мера является численной оценкой лингвистической неопределенности, связанной с неоднозначностью и расплывчатостью категорий человеческого мышления. При построении функции принадлежности μ A (x) с каждым нечетким множеством A ассоциируется некоторое свойство, признак или атрибут, который характеризует некоторую совокупность объектов X. Чем в большей степени конкретный объект x ∈ X обладает этим свойством, тем более близко к 1 соответствующее значение μ A (x). Если элемент x ∈ X определенно обладает этим свойством, то μ A (x)=1, если же x ∈ X определенно не обладает этим свойством, то μ A (x)=0.

Основные виды функций принадлежности

На практике удобно использовать те функции принадлежности, которые допускают аналитическое представление в виде некоторой простой математической функции.

1. Кусочно-линейные,

использующиеся для задания неопределенностей типа: «приблизительно равно», «среднее значение», «расположен в интервале», «подобен объекту», «похож на предмет» и т.п.

Треугольная trimf

Трапецеидальная trapmf

2. S-образные,

использующиеся для задания неопределенностей типа: «большое количество», «большое значение», «значительная величина», «высокий уровень» и т.п.

Квадратичный S-сплайн smf

3. Z -образные,

использующиеся для задания неопределенностей типа «малое количество», «небольшое значении е», «незначительная величина», «низкий уровень» и т.п.

Квадратичный Z -сплайн z mf

4. П-образные,

использующиеся для задания неопределенностей типа: «приблизительно в пределах от и до», «примерно равно», «около» и т.п.

К данному типу функций принадлежности можно отнести целый класс кривых, которые по своей форме напоминают колокол, сглаженную трапецию или букву "П".

Колоколообразная gbellmf

a - коэффициент концентрации функции принадлежности; b – коэффициент крутизны функции принадлежности; c – координата максимума функции принадлежности.

Гауссовская gaussmf

a – координата максимума функции принадлежности; b – коэффициент концентрации функции принадлежности.

Методы построения функций принадлежности

Прямые и косвенные

В зависимости от числа привлеченных к опросу экспертов как прямые, так и косвенные методы делятся на одиночные и групповые .

Прямые

В прямых методах эксперт либо группа экспертов просто задают для каждого

x ∈ X значение функции принадлежности μ A (x).

Как правило, прямые методы построения функций принадлежности используются для таких свойств, которые могут быть измерены в некоторой количественной шкале. Например, такие физические величины, как скорость, время, расстояние, давление, температура и другие имеют соответствующие единицы и эталоны для своего измерения.

При прямом построении функций принадлежности следует учитывать, что теория нечетких множеств не требует абсолютно точного задания функций принадлежности. Зачастую бывает достаточно зафиксировать лишь наиболее характерные значения и вид функции принадлежности.

Так, например, если необходимо построить нечеткое множество, которое представляет свойство "скорость движения автомобиля примерно 50 км/ч", на начальном этапе может оказаться достаточным представить соответствующее нечеткое множество треугольной функцией принадлежности с параметрами а = 40 км/ч, b = 60 км/ч и с = 50 км/ч. В последующем функция принадлежности может быть уточнена опытным путем на основе анализа результатов решения конкретных задач.

Процесс построения или задания нечеткого множества на основе некоторого известного заранее количественного значения измеримого признака получил даже специальное название - фаззификация или приведение к нечеткости. Речь идет о том, что хотя иногда нам бывает известно некоторое значение измеримой величины, мы признаем тот факт, что это значение известно неточно, возможно с погрешностью или случайной ошибкой. При этом, чем меньше мы уверены в точности измерения признака, тем большим будет интервал носителя соответствующего нечеткого множества. Следует помнить, что в большинстве практических случаев абсолютная точность измерения является лишь удобной абстракцией для построения математических моделей. Именно по этой причине фаззификация позволяет более адекватно представить объективно присутствующую неточность результатов физических измерений.

Метод относительных частот (прямой групповой)

Пусть имеется m экспертов, n 1 из которых на вопрос о принадлежности элемента x ∈ X нечеткому множеству A отвечают положительно. Другая часть экспертов n 2 = m – n 1 отвечает на этот вопрос отрицательно. Тогда принимается μ A (x) = n 1 / (n 1 + n 2) = n 1 / m.

Пример. Рассмотрим нечеткое множество A, соответствующее понятию «скорость изменения температуры положительная средняя». Объект x – скорость изменения температуры. Экспертам предъявляются различные значения скорости изменения температуры x, и каждому из них задается вопрос: считает ли эксперт, что данная скорость изменения температуры x положительная средняя. Результаты опроса сведены в табл.

В качестве непрерывного представления данной нечеткой переменной можно использовать гауссовскую ФП gaussmf с максимумом функции принадлежности а=5 и коэффициентом концентрации функции принадлежности b=1.7:

μ(x) = exp [ – (x–5) 2 / 2*1.7 2 ]

Косвенные

Используются при решении задач, для которых свойства физических величин не могут быть измерены. Наибольшее распространение среди косвенных методов получил метод парных сравнений.

Метод парных сравнений

Интенсивность принадлежности определяют, исходя из попарных сравнений рассматриваемых элементов.

Для каждой пары элементов универсального множества эксперт оценивает преимущество одного элемента над другим по отношению к свойству нечеткого множества. Парные сравнения удобно представлять следующей матрицей:

,

где - уровень преимущество элементанад(), определяемый по девятибальной шкале Саати:

1 - если отсутствует преимущество элемента над элементом;

3 - если имеется слабое преимущество над;

5 - если имеется существенное преимущество над;

7 - если имеется явное преимущество над;

9 - если имеется абсолютное преимущество над;

2, 4, 6, 8 - промежуточные сравнительные оценки.

Пример. Построить функцию принадлежности нечеткого множества "высокий мужчина" на универсальном множестве {170, 175, 180, 185, 190, 195}, если известны такие экспертные парные сравнения:

абсолютное преимущество 195 над 170;

явное преимущество 195 над 175;

существенное преимущество 195 над 180;

слабое преимущество 195 над 185;

отсутствует преимущество 195 над 190.

Приведенным экспертным высказываниям соответствует такая матрица парных сравнений:

При согласованных мнениях эксперта матрица парных сравнений обладает следующими свойствами:

она диагональная‚ т. е. a ii =1 ‚ i=1..n ;

она обратно симметрична‚ т. е. элементы‚ симметричные относительно главной диагонали‚ связаны зависимостью a ij =1/a ji , i,j=1..n ;

она транзитивна‚ т. е. a ik a kj =a ij , i,j,k=1..n .

Наличие этих свойств позволяет определить все элементы матрицы парных сравнений:

После определения всех элементов матрицы парных сравнений, степени принадлежности нечеткого множества вычисляются по формуле:

Для нормализации нечеткого множества разделим все степени принадлежности на максимальное значение, т.е. на 0.3588.