Приведем некоторые из основных операций, которые можно осуществлять над нечетким множествами.

1. Дополнение нечеткого множества А обозначается символом и определяется следующим образом:

(5.15)

Операция дополнения соответствует логическому отрицанию. Например, если А - название нечеткого множества, то «не А» понимается как (см. пример ниже).

2. Объединение нечетких множеств А и В обозначается А+В (или АÈВ ) и определяется:

(5.16)

Объединение соответствует логической связке «или ». Например, если А и В – названия нечетких множеств, то запись «А или В » понимается как А+В .

u большее из .

Замечание: следует иметь в виде, что логическая связка Ú в данном контексте означает по определению max (т.е. ); Ù означает min (т.е. ).

3. Пересечение А и В обозначаются АÇВ и определяется следующим образом:

(5.17)

Пересечение соответствует логической связке «u », т.е.

А иВ=АÇВ (5.18)

При определении степени принадлежности элементов u новому нечеткому множеству, выбирают меньшее из (см. замечание выше).

4. Произведение А и В обозначается АВ и определяется формулой

(5.19)

если (5.20)

Пример 5.5. Если

U=1+2+…+10

A=0.8/3+1/5+0.6/6 (5.21)

B=0.7/3+1/4+0.5/6,

То ØА=1/1+1/2+0.2/3+1/4+0.4/6+1/7+1/8+1/9+1/10

А+В=0.8/3+1/4+1/5+0.6/6

АÇВ=0.7/3+0.5/6 (берется min из двух значений m) (5.22)

АВ=0.56/3+0.3/6

0.4А=0.32/3+0.4/5+0.24/6

5. Декартово произведение нечетких множеств А 1 , …, А n универсальных множеств U 1 ,…,U n соответственно обозначается А 1 ´…´А n и определяется как нечеткое подмножество множества U 1 ´…´U n с функцией принадлежности.

Пример 5.6. Если

U 1 =U 2 =3+5+7

A 1 =0.5/3+1/5+0.6/7

A 2 =1/3+0.6/5, то

A 1 ´A 2 =0.5/3.3+1/5.3+0.6/7.6+0.5/3.5+0.6/5.5+0.6/7.5

Нечеткие отношения.

Нечеткое отношение R : X®Y представляет собой нечеткое множество декартова произведения X´Y . R следующим образом описывается с помощью функции принадлежности двух переменных:

(5.25)

Нечетким отношением на множестве X´Y называется совокупность пар

(5.26)

где - функция принадлежности нечеткого отношения R , имеющая тот же смысл, что и функция принадлежности нечеткого множества.

Вообще n - арное отношение есть нечеткое подмножество декартова произведения X 1 ´X 2 ´…´X n , причем

(5.27)

Примеры нечетких отношений:

«X примерно равен Y »,

«X значительно больше Y »,

«А существенно предпочтительнее В ».

Пример 5.7. Предположим, что X={Юрий, Сергей} , Y={Максим, Михаил} .

Тогда бинарное нечеткое отношение «сходства» между элементами множеств X и Y можно записать в виде

сходство=0.8/(Юрий,Максим)+0.6/(Юрий,Михаил)+0.2/(Сергей,Максим)+0.9/(Сергей, Михаил).

Помимо этого, данное отношение можно представить в виде матрицы отношений.

(5.28)

В которой (i,j)- й элемент равен значению функции для i -го значения x и j-го значения y .

Если R – отношение X®Y (или, что то же самое, отношение в X´Y ), а S – отношение Y®Z , то композицией R и S является нечеткое отношение X®Z , обозначаемое R° S и определяемое формулой

где ° - знак композиции, знаки Ú и Ù обозначают соответственно max и min , V y – верхняя грань по области значений у .

Здесь (5.29) является композицией отношений.

Выражение (5.29) определяет максминное произведение R и S .

Так, для действительных чисел а и b :

(5.30)

(5.31)

Если X,Y,Z – конечные множества, то матрица отношения R° S есть максминное произведение матриц отношений R и S . В максминном произведении матриц вместо операции сложения и умножения используются операции Ú и Ù соответственно.

Пример максминного произведения

(5.32)

Здесь количество строк должно равняться количеству столбцов. Строка умножается на столбец и берется максимальное значение из минимальных значений пар.

3) любой другой точки на графике функции, отличной от c иx 0,5 , например, приближенной границы носителя (x 0,01 ) или ядра (x 0,99 ) – по результатам вычисляется значение параметраb .

3.Операции над нечеткими множествами

Выделяют две группы операций над нечеткими множествами:

1) теоретико-множественные операции, которые представляют собой обобщение операций классической теории множеств на случай нечетких множеств;

2) операции, существенно учитывающие нечеткость множе-

ства , не имеющие смысла для обычных множеств.

В общем случае теоретико-множественные операции над нечеткими множествами определяются так, чтобы, будучи примененными к четким множествам, они совпадали с обычными, классическими теоретико-множественными операциями.

Из операций первой группы рассмотрим операции дополнения ,

пересечения, объединенияи декартова произведения, из операций второй группы – операцию возведения в степень.

3.1. Дополнение

Пусть A – нечеткое множество на множествеX с функцией принадлежностиμ A .Дополнением A называется нечеткое множествоA с функцией принадлежности

		(x )= 1− μ A (x ),x X

Операция дополнения обычно используется для представления логического модификатора «НЕ ».

Пример выполнения операции нечеткого дополнения приведен на рис. 3.1, из которого видно, что существуют элементы области определения, принадлежащие как самому множеству, так и его дополнению, при этом данные элементы не принадлежат ни одному из этих множеств полностью, со степенью принадлежности, равной 1. Иными словами, в нечеткой логике не действуют хорошо известные из классической логики принцип непротиворечивости и закон исключенного третьего, что как раз и обусловлено нечеткостью границ между понятием и его отрицанием.

Основные понятия теории нечетких множеств

Рис. 3.1. Пример выполнения операции нечеткого дополнения

3.2. Пересечение и объединение

Рассмотрим один из наиболее распространенных подходов к определению операций пересечения и объединения нечетких множеств, называемый иногда минимаксным подходом.

Пусть A иB – нечеткие множества на множествеX с функциями принадлежностиμ A иμ B соответственно. Тогда пересечениеA ∩ B и объединениеA B этих множеств являются нечетким множествами наX с функциями принадлежности соответственно:

с использованием минимаксного подхода показаны на рис. 3.2.

Рис. 3.2. Примеры выполнения операций пересечения и объединения нечетких множеств с использованием минимаксного подхода

Операция пересечения обычно используется для представления логической связки «И », а операция объединения – для представления связки «ИЛИ ».

Легко видеть, что если в качестве операндов A иB взять обычные, четкие множества, то определенные таким образом операции пересечения и объединения сводятся к своим классическим теорети- ко-множественным аналогам. Кроме того, для данных операций справедливы следующие свойства:

Основные понятия теории нечетких множеств

	коммутативность:
	A ∩ B= B∩ A, A B= B A;
	ассоциативность:
	(A∩ B) ∩ C= A∩ (B∩ C) ,
	(A B) C= A(B C) ;
	граничные условия:
	A ∩ =,	A = A,
	A ∩ X= A,	A X = X;
	идемпотентность:
	A ∩ A= A A= A;
	дистрибутивность:
	A ∩ (B C) = (A∩ B) (A∩ C),

A (B∩ C) = (A B) ∩ (A C).

Рассмотренный подход к определению операций нечеткого пересечения и объединения не является единственно возможным. Достаточно часто используется иной подход, в соответствии с которым:

μ A ∩ B (x )= μ A (x )μ B (x ),x X ,
μ A B (x )= μ A (x )+ μ B (x )− μ A (x )μ B (x ),x X .

Данный подход иногда называют вероятностным , поскольку соответствующие выражения по своей форме совпадают с выражениями для определения вероятностей пересечения и объединения случайных событий. Примеры выполнения операций пересечения и объединения с использованием вероятностного подхода показаны на рис. 3.3.

Рис. 3.3. Примеры выполнения операций пересечения и объединения нечетких множеств с использованием вероятностного подхода

Для операций пересечения и объединения, определенных с использованием вероятностного подхода, остаются справедливыми свойства коммутативности и ассоциативности, а также граничные ус-

Основные понятия теории нечетких множеств

ловия. Свойства идемпотентности и дистрибутивности не выполня-

ются, но справедливы их менее жесткие аналоги:

A ∩ A A, A A A;

A ∩ (B C) (A∩ B) (A∩ C),

A (B∩ C) (A B) ∩ (A C).

Введенные подходы к определению операций нечеткого пересечения и объединения можно рассматривать как частные случаи обобщенного подхода, основанного на использовании треугольных норм и конорм .

Пусть на области × (т.е. на единичном квадрате) задана функция двух переменныхT (x ,y ), принимающая значения на отрезке и удовлетворяющая следующим условиям (для всех возможных значенийx иy ):

1) коммутативность : T(x, y) = T(y, x);

2) монотонность : x1 ≤ x2 , y1 ≤ y2 T(x1 , y1 ) ≤ T(x2 , y2 );

3) ассоциативность : T(T(x, y), z) = T(x, T(y, z));

4) граничное условие : T(x, 1) = T(1, x) = x.

Аналогично, пусть на этой же области задана функция S (x ,y ), принимающая значения на отрезке и для всех возможных значенийx иy удовлетворяющая следующим условиям:

1) коммутативность : S(x, y) = S(y, x);

2) монотонность : x1 ≤ x2 , y1 ≤ y2 S(x1 , y1 ) ≤ S(x2 , y2 );

3) ассоциативность : S(S(x, y), z) = S(x, S(y, z));

4) граничное условие : S(x, 0) = S(0, x) = x.

Тогда функция T (x ,y ) называетсятреугольной нормой или

T-нормой, а S(x, y) – треугольной конормой или S-нормой.

Примерами T-норм и S-норм являются:

T M (x ,y ) = min{x ,y };	S M (x ,y ) = max{x ,y };
T P (x ,y ) =xy ;	S P (x ,y ) = x +y –xy ;
T L (x ,y ) = max{x +y –1, 0};	S L (x ,y ) = min{x +y , 1}.

Используя T- и S-нормы, можно ввести следующее обобщенное определение операций пересечения и объединения нечетких множеств:

μ A ∩ B (x )= T (μ A (x ),μ B (x )),x X ,
μ A B (x )= S (μ A (x ),μ B (x )),x X .

где T – некоторая T-норма, S – некоторая S-норма.

Логические операции

Включение. Пусть А и В - нечеткие множества на уни­версальном множестве Е. Говорят, что А содержится в В, если

Обозначение: А ⊂ В.

Иногда используют термин доминирование, т.е. в случае, ко­гда А ⊂ В, говорят, что В доминирует А.

Равенство. А и В равны, если

Обозначение: А = В.

Дополнение. Пусть М = , А и В – нечеткие множества, заданные на Е. А и В дополняют друг друга, если

Обозначение:

Очевидно, что (дополнение определено для М = , но очевидно, что его можно определить для любого упорядочен­ного М).

Пересечение. А ⋂ В - наибольшее нечеткое подмножество, содержащееся одновременно в А и В:

Объединение. A ∪В - наименьшее нечеткое подмножество, включающее как А, так и В, с функцией принадлежности:

Разность. с функцией принадлежности:

Дизъюнктивная сумма

А ⊕ В = (A - B ) ∪ (B - A ) = (A ⋂ ̅ B ) ∪ ( ̅A ⋂ B )

с функцией принадлежности:

Примеры. Пусть

Здесь:

1) А ⊂ В, т. е. А содержится в B или B доминирует А ; С несравнимо ни с A , ни с В, т.е. пары {А, С } и {А, С } - пары недоминируемых нечетких множеств.

2) A ≠ B ≠ C

3) ̅A = 0,6/x 1 + 0,8/x 2 + 1/x 3 + 0/x 4 ; ̅B = 0,3/x 1 + 0,1/x 2 + 0,9/x 3 +0/x 4 .

4) А ⋂ В = 0,4/x 1 + 0,2/x 2 + 0/x 3 + 1 /х 4 .

5) A ∪ В = 0,7/ x 1 + 0,9/x 2 + 0,1/x 3 + 1/x 4 .

6) А - В = А ⋂ ̅В = 0,3/x 1 + 0,l/x 2 + 0/x 3 + 0/x 4 ;

В - А= ̅А ⋂ В = 0,6/x 1 + 0,8/x 2 + 0,l/x 3 + 0/x 4 .

7) А ⊕ В = 0,6/x 1 + 0,8/x 2 + 0,1/x 3 + 0/x 4 .

Наглядное представление логических операций над нечеткими множествами. Для нечетких множеств можно строить визуальное представление. Рассмотрим прямоуголь­ную систему координат, на оси ординат которой откладываются значения μ А (х), на оси абсцисс в произвольном порядке распо­ложены элементы Е (мы уже использовали такое представление в примерах нечетких множеств). Если Е по своей природе упо­рядочено, то этот порядок желательно сохранить в расположении элементов на оси абсцисс. Такое представление делает нагляд­ными простые логические операции над нечеткими множествами (см. рис. 1.3).

Рис. 1.3. Графическая интерпретация логических операций: α - нечеткое мно­жество А; б - нечеткое множество ̅А, в - А ⋂ ̅А; г - A ∪ ̅А

На рис. 1.3α заштрихованная часть соответствует нечеткому множеству А и, если говорить точно, изображает область значений А и всех нечетких множеств, содержащихся в А. На рис. 1.3б , в, г даны ̅А, А ⋂ ̅ A , A U ̅А.

Свойства операций ∪ и ⋂

Пусть А, В, С - нечеткие множества, тогда выполняются сле­дующие свойства:

В отличие от четких множеств, для нечетких множеств в общем

случае:

A ⋂ ̅A ≠ ∅, A ∪ ̅A ≠ E

(что, в частности, проиллюстрировано выше в примере наглядного представления нечетких множеств).

Замечание . Введенные выше операции над нечеткими мно­жествами основаны на использовании операций maxи min. В те­ории нечетких множеств разрабатываются вопросы построения обобщенных, параметризованных операторов пересечения, объеди­нения и дополнения, позволяющих учесть разнообразные смысло­вые оттенки соответствующих им связок «и», «или», «не».

Один из подходов к операторам пересечения и объединения за­ключается в их определении в классе треугольных норм и конорм.

Треугольной нормой (t -нормой ) называется двуместная дей­ствительная функция T : x → , удовлетворяющая следующим условиям:

Примеры треугольных норм

min(μ A , μ B )

произведение μ A · μ B

max(0, μ A + μ B - 1 ).

Треугольной конормой (t -конормой ) называется двуместная действительная функция S : x → со свойствами:

Примеры t -конорм

max(μ A , μ B )

μ A + μ B - μ A · μ B

min(1, μ A + μ B ).

Алгебраические операции над нечеткими множествами

Алгебраическое произведение А иВ обозначается A · В и опре­деляется так:

Алгебраическая сумма этих множеств обозначается А+ В и определяется так:

Для операций {-, +} выполняются свойства:

Не выполняются:

Замечание. При совместном использовании операций { U, ⋂, + , } выполняются свойства:

На основе операции алгебраического произведения определя­ется операция возведения в степень α нечеткого множества А, где α - положительное число. Нечеткое множество А α опреде­ляется функцией принадлежности μ α A = μ α A (x ). Частным случаем возведения в степень являются:

1) CON(А ) = А 2 - операция концентрирования (уплотне­ния );

2) DIL(А ) = А 0,5 - операция растяжения,

которые используются при работе с лингвистическими неопреде­ленностями (рис. 1.4).

Рис. 1.4. Иллюстрация к понятию операций концентрирования (уплотнения) и растяжения

Умножение на число. Если α - положительное число, такое, что , то нечеткое множество αА имеет функцию принадлежности:

μ αА (х) = αμ A (x ).

Выпуклая комбинация нечетких множеств. Пусть A 1 , А 2 ,... , А n - нечеткие множества универсального множества Е, aω 1 , ω 2 , …, ω n - неотрицательные числа, сумма которых равна 1.

Выпуклой комбинацией A 1 , А 2 , ..., А n называется нечеткое множество А с функцией принадлежности:

Декартово (прямое ) произведение нечетких множеств. Пусть A 1 , А 2 , ..., А n - нечеткие подмножества универсальных множеств Е 1 , Е 2 ,… , Е n соответственно. Декартово, или прямое произведение А = А 1 x А 2 x... x А n является нечетким подмно­жеством множества Е = Е 1 x Е 2 x... x Е n с функцией принад­лежности:

Оператор увеличения нечеткости используется для преобра­зования четких множеств в нечеткие и для увеличения нечеткости нечеткого множества.

Пусть А - нечеткое множество, Е - универсальное множество и для всех х ϵ Е определены нечеткие множества К(х). Совокуп­ность всех К(х) называется ядром оператора увеличения нечетко­сти Ф. Результатом действия оператора Ф на нечеткое множество А является нечеткое множество вида

где μ А (х)К(х) - произведение числа на нечеткое множество.

Пример . Пусть

Е = {1,2,3,4}; А = 0,8/1+ 0,6/2+ 0/3+ 0/4; К (1)= 1/1 + 0,4/2;

К (2) = 1/2 + 0,4/1 + 0,4/3; К (3) = 1/3 + 0,5/4; К (4)= 1/4.

Тогда

Четкое множество α-уровня (или уровня α). Множеством α-уровня нечеткого множества А универсального множества Е на­зывается четкое подмножество А α универсального множества Е, определяемое в виде

А α = { x /μ A (x ) ≥ α },

где α ≤ 1.

Пример. Пусть А = 0,2/ x 1 + 0/x 2 + 0,5/x 3 + 1/x 4 , тогда A 0,3 = { x 3 , x 4 }, A 0,7 = { х 4 }.

Достаточно очевидное свойство: если α 1 ≥ 2, то А α1 ≤ А α2 .

Включение. Пусть A и B – нечеткие множества на уни-версальном множестве E. Говорят, что A содержится в B, если "x ÎE m A (x) > m B (x). Обозначение: A Ì B.

Равенство. A и B равны, если "xÎE m A (x) = m B (x). Обозначение: A = B.

Дополнение. Пусть M = , A и B – нечеткие множества, заданные на E. A и B дополняют друг друга, если
"xÎE m A (x) = 1 – m B (x). Обозначение: B = или A = . Очевид-но, что . (Дополнение определено для M = , но оче-видно, его можно определить для любого упорядоченного M).

Пересечение. A Ç B – наибольшее нечеткое подмно-жество, содержащееся одновременно в A и B;

m A Ç B (x ) = min{m A (x ), m B (x )}.

Объединение.А È В – наименьшее нечеткое подмно-жество, включающее как А, так и В, с функцией принадлежности

m A È B (x ) = max {(m A (x ), m B (x )}.

Разность. А \ B= А Ç с функцией принадлежности:

m A\B (x ) = min { m A (x ), 1 – m B (x )}.

Например.

Пусть: A = 0,4/ x 1 È 0,2/ x 2 È 0/ x 3 È 1/ x 4 ;

1. A Ì B, т.е. A содержится в B, С несравнимо ни с A, ни с B.

2. A ¹ B ¹ C.

3. = 0,6/ x 1 È 0,8/ x 2 È 1/ x 3 È 0/ x 4 ;
= 0,3/ x 1 È 0,1/ x 2 È 0,9/ x 3 È 0/ x 4 .

Для нечетких множеств можно строить визуальное представление. Рассмотрим прямоугольную систему координат, на оси ординат которой откладываются значения m A (x ), на оси абсцисс в произвольном порядке расположены элементы E (мы уже использовали такое представление в примерах нечетких множеств). Если E по своей природе упорядочено, то этот порядок желательно сохранить в расположении элементов на оси абсцисс. Такое представление делает наглядными простые операции над нечеткими множествами.

Рис. 1. Рис. 2

Рис. 3. Рис. 4.

На рис. 1 темная часть соответствует нечеткому множеству A и, если говорить точно, изображает область значений А и всех нечетких множеств, содержащихся в A. На Рис. 2 – 4 даны , A Ç , AÈ , соответственно.

Свойства операций È и Ç.

Пусть А, В, С – нечеткие множества, тогда выполняются следующие соотношения:

а) – коммутативность;

б) – ассоциативность;

в) – идемпотентность;

г) – дистрибутивность;

д) AÈÆ= A, где Æ – пустое множество, т.е. m Æ (x)= 0"xÎE;

AÇE = A, где E – универсальное множество;

е) – теоремы де Моргана.

В отличие от четких множеств, для нечетких множеств в общем случае AÇ Æ, AÈ ¹ E, что, в частности, проиллюстрировано выше в примере наглядного представления нечетких множеств.

Алгебраические операции над нечеткими множествами

Алгебраическое произведение A и B обозначается A×B и определяется так:

"xÎE m A × B (x ) = m A (x )m B (x ).

Алгебраическая сумма этих множеств обозначается А + В и определяется так:

"xÎE m A+В (x ) = m A (x ) + m B (x )-m A (x )m B (x ).

Для операций {×, +} выполняются свойства:

· – коммутативность;

· – ассоциативность;

· A×Æ = Æ, A+Æ = A, A×E = A, A+E = E ;

· – законы де Моргана.

Не выполняются:

· – идемпотентность;

· – дистрибутивность;

· а также A× = Æ, A+ = E.

Докажем первый закон де Моргана. Обозначим m A (x) через a, m B (x) через b. Тогда в левой части равенства для каждого элемента х имеем: 1– ab, а в правой, согласно формуле алгебраического сложения: (1– a) + (1– b) – (1 – a)(1 – b) = 1 – ab.

Докажем, что первое свойство дистрибутивности не выполня-ется, т.е. A×(B + C) ¹ (A×B) + (A×C). Для левой части имеем: a(b+c– bc) = ab + ac – abc; для правой: ab + ac – (ab)(ac) = ab + ac + a 2 bc. Это означает, что дистрибутивность не выполняется при a¹a 2 .

Замечание. При совместном использовании операций {È, Ç,+,×} выполняются свойства:

· А×(B È C) = (A×B) È (A × C);

· А× (B Ç C) = (A×B) Ç (A×C);

· А+(B È C) = (A+B) È (A+C);

· А+ (B Ç C) = (A+B) Ç (A+C).

Декартово произведение нечетких множеств. Пусть A 1 , A 2 , ..., A n – нечеткие подмножества универсальных множеств E 1 , E 2 , ..., E n соответственно. Декартово произведение A= A 1 ´A 2 ´ ...´A n является нечетким подмножеством множества E= E 1 ´E 2 ´ ... ´E n с функцией принадлежности:

m A (x 1 , x 1 , ..., x n) = min{ m A1 (x 1), m A2 (x 2) , ... , m Ai (x n) }.

Принцип обобщения

Принцип обобщения – одна из основных идей теории нечетких множеств – носит эвристический характер и используется для расширения области применения нечетких множеств на отображения. Будем говорить, что имеется нечеткая функция f, определенная на множестве X со значением в множестве Y, если она каждому элементу xÎX ставит в соответствие элемент yÎY со степенью принадлежности m f (x,y). Нечеткая функция f определяет нечеткое отображение f : X Y .

Принцип обобщения заключается в том, что при заданном четком f: X®Y или нечетком f : X Y отображении для любого нечеткого множества А, заданного на Х, определяется нечеткое множество f(A) на Y, являющееся образом A.

Пусть f: X®Y заданное четкое отображение, а A = {m A (x)/х}– нечеткое множество в Х. Тогда образом А при отображении f является нечеткое множество f(A) на Y с функцией принадлежности:

m f(A) (y) = ; yÎY,

где f –1 (y)={x | f(x) = y}.

В случае нечеткого отображения f : X Y, когда для любых xÎX и yÎY определена двуместная функция принадлежности m f (x, y), образом нечеткого множества А, заданного на Х, являет-ся нечеткое множество f(A ) на Y с функцией принадлежности m f (A) (y) = { min(m A (x), m f (x, y) }.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

1. Пусть: A = 0,4/ x 1 È 0,2/ x 2 È 0/ x 3 È 1/ x 4 ;

B = 0,7/ x 1 È 0,9/ x 2 È 0,1/ x 3 È1/ x 4 ;
C = 0,1/ x 1 È 1/ x 2 È 0,2/ x 3 È 0,9/ x 4 .

Построить множества: а) AÇB;

в) А \ В; В \ А.

2. Для универсального множества E = {Запорожец, Жигули, Мерседес, Феррари} прямым методом построить нечеткие множества: а) “скоростные”;

б) “средние”;

в) “тихоходные”.

3. Пусть E = {1, 2, 3, ..., 100} и соответствует понятию “возраст“. Прямым методом построить нечеткие множества

а) “пожилой”;

б) “пора замуж”;

в) “призывник”,

и построить аппроксимирующую формулу для соответсивующих функций принадлежности.

4. В условиях задачи 2 построить нечеткие множества а) – в) косвенным методом на основе парных сравнений элементов Е.

ГЛАВА 2. БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ

И ФУНКЦИЯ ВЫБОРА

Лекция № 4. Операции с нечеткими множествами

Определение операций, выполняемых с нечеткими множествами, во многом аналогично операциям с обычными (четкими) множествами.

Эквивалентность. Два нечетких множества А и В эквивалентны (это
обозначается как ) тогда и только тогда, когда для всех имеет место .

Рис. 2.4. Операции с нечеткими множествами

Включение . Нечеткое множество А содержится в нечетком множестве В () тогда и только тогда, когда

Объединение , или дизъюнкция (disjunction), двух нечетких множеств А и В соответствует логической операции "ИЛИ " и определяется как наименьшее нечеткое множество, содержащее оба множества А и В. Функция принадлежности для этого множества находится с помощью операции взятия максимума (рис.2.4, б)

Пересечение , или конъюнкция (conjunction), соответствует логической операции "И " и определяется как наибольшее нечеткое множество, являющееся одновременно подмножеством обоих множеств.

Функция принадлежности множества выражается с помощью операции нахождения минимума (рис. 2.4,в)

Дополнение (complement) нечеткого множества А , обозначаемое через (или ¯| А), соответствует логическому отрицанию "НЕ " и определяется формулой (рис. 2.4,г)

Легко видеть, что применительно к классическим "четким" множествам, для которых функции принадлежности принимают только 2 значения: 0 или 1, формулы определяют известные операции логического "ИЛИ", "И", "НЕ".

Приведем определения еще двух достаточно распространенных операций над нечеткими множествами – алгебраического произведения и алгебраической суммы нечетких множеств.

Алгебраическое произведение АВ нечетких множеств А и В определяется следующим образом:

Алгебраическая сумма :

Кроме перечисленных имеются и другие операции, которые оказываются полезными при работе с лингвистическими переменными.

Операция концентрации (concentration) CON(А) определяется как алгебраическое произведение нечеткого множества А на самого себя: т.е.

В результате применения этой операции к множеству А уменьшаются степени принадлежности элементов х этому множеству, причем если , то это уменьшение относительно мало, а для элементов с малой степенью принадлежности - относительно велико. В естественном языке применение этой операции к тому или иному значению лингвистической переменной А соответствует использованию усиливающего терма "очень" (например, "очень высокий", "очень старый" и т.д.).

Операция растяжения (dilation) DIL(A) определяется как

DIL(A)=A 0,5 , где

Действие этой операции противоположно действию операции концентрации и соответствует неопределенному терму "довольно", выполняющему функцию ослабления следующего за ним (основного) терма А : "довольно высокий", "довольно старый" и т.п.

Можно ввести и другие аналогичные по смыслу операции, позволяющие модифицировать значения лингвистической переменной, увеличивая, таким образом, их количество. Так, терм "более чем" можно определить следующим образом:

составной терм "очень-очень":

Рассмотрим применение указанных операций на следующем наглядном примере. Пусть переменная х характеризует "возраст человека", X - интервал . Тогда нечеткие подмножества, описываемые термами "молодой" и "старый", можно представить с помощью функции принадлежности (рис. 2.5).

Рис. 2.5. Графическое представление лингвистической переменной “возраст человека"

Тогда, в соответствии с выражением, находим (рис. 2.5)

Точно так же, используя (2.10) и (2.14), получаем (рис. 2.5)

Например, если конкретному человеку исполнилось 55 лет (т.е. х = 55), то в соответствии с данными функциями принадлежности имеем:

До сих пор предполагалось, что речь идет о единственной переменной , принимающей значения на вещественной числовой оси.