Дифференциальное исчисление функции одной переменной.
Производная функции, ее геометрический и физический смысл.
Определение. Производной функцииf(x) в точкеx =x 0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.
f (x +x ) −f (x ) |
||
f (x ) = lim | ||
x →0 |
f(x0 + x) | |||
f(x0 ) | |||
x0 + x |
Пусть f(x) определена на некотором промежутке(a, b) . Тогдаtg β = | f − |
||||
тангенс угла наклона секущей МР к графику функции. | |||||
lim tg β = lim | F (x 0 ) =tg α | ||||
x →0 | x →0x | ||||
где α - угол наклона касательной к графику функции f(x) в точке(x 0 , f(x 0 )).
Угол между кривыми может быть определен как угол между касательными, проведенными к этим кривым в какойлибо точке.
Уравнение касательной к кривой: | y − y0 | |||||
(x 0 )(x −x 0 ) |
||||||
Уравнение нормали к кривой: | y −y 0 = − | (x −x 0 ). | ||||
f (x0 ) | ||||||
Фактически производная функции показывает скорость изменения функции, как изменяется функция при изменении переменной.
Физический смысл производной функции f(t) , гдеt - время, аf(t) - закон движения (изменения координат) – мгновенная скорость движения.
Соответственно, вторая производная функциискорость изменения скорости, т.е. ускорение.
Основные правила дифференцирования.
Обозначим f(x) = u, g(x) = v - функции, дифференцируемые в точке х.
1) (u ± v)¢ = u¢ ± v¢
2) (u × v)¢ = u× v¢ + u¢× v
Эти правила могут быть легко доказаны на основе теорем о пределах.
Производные основных элементарных функций.
1) С ¢ = 0;
2) (x n )¢ = nxn-1 ;
(x)¢ =1 | 11) (sinx ) ′ = cosx | ||||||||||||||||||||||||||
(x2 )¢ = 2x | 12) (cosx ) ′ = − sinx |
||||||||||||||||||||||||||
) ′= | 13) (tgx ) ′ = | ||||||||||||||||||||||||||
cos2 x | |||||||||||||||||||||||||||
1 ′ | |||||||||||||||||||||||||||
14) (ctgx ) | |||||||||||||||||||||||||||
sin 2 x |
|||||||||||||||||||||||||||
(ex ) ′ = ex | 15) (arcsinx ) ′ = | ||||||||||||||||||||||||||
− x 2 |
|||||||||||||||||||||||||||
(ax ) ′ = ax ln a | 16) (arccosx ) ′ = − | ||||||||||||||||||||||||||
1 − x 2 |
|||||||||||||||||||||||||||
9) (lnx ) ′ = | 17) (arctgx) ′ = | ||||||||||||||||||||||||||
(loga x ) ′ = | 18) (arcctgx) ′ = − | ||||||||||||||||||||||||||
x ln a | |||||||||||||||||||||||||||
1 + x 2 |
|||||||||||||||||||||||||||
Производная сложной функции.
Теорема. Пусть y = f(u); u = g(x), причем область значений функцииu входит в область определения функции f.
Тогда y ′= f ′(u )× u ′
Логарифмическое дифференцирование.
y = ln | ln x ,при | x > 0 | |||||||||||||||||||||
Рассмотрим функцию | |||||||||||||||||||||||
ln(−x ), | при x < 0 | ||||||||||||||||||||||
(−x )′ | |||||||||||||||||||||||
Тогда (ln x )′= | х , т.к.(ln x ) | X ; (ln(−x )) | − x | ||||||||||||||||||||
Учитывая полученный результат, можно записать (ln | )′ | ||||||||||||||||||||||
f (x) | f (x) | ||||||||||||||||||||||
f (x) |
|||||||||||||||||||||||
Отношение f ′(x ) называетсялогарифмической производной функции f(x).
f (x)
Способ логарифмического дифференцированиясостоит в том, что сначала находят логарифмическую производную функции, а затем производную самой функции по формуле
f ¢ (x )= (lnf (x ))¢ × f (x )
Способ логарифмического дифференцирования удобно применять для нахождения производных сложных, особенно показательных и показательностепенных функций, для которых непосредственное вычисление производной с использованием правил дифференцирования представляется трудоемким.
Производная показательностепенной функции.
Функция называется показательной, если независимая переменная входит в показатель степени, и степенной, если переменная является основанием. Если же и основание и показатель степени зависят от переменной, то такая функция будет показательно – степенной.
Пусть u = f(x) иv = g(x) – функции, имеющие производные в точкех ,f(x)>0.
Найдем производную функции y = u v . Логарифмируя, получим:
u′ | ||||||
y¢ = uv v | V ¢ln u | |||||
(u v ) ′ =vu v −1 u ′ +u v v ′ lnu | ||||||
Пример. Найти производную функцииf (x ) = (x 2 | 3 x ) xcos x. |
|||||
По полученной выше формуле получаем: u = x 2 + 3 x ; | v = xcos x; |
|||||
Производные этих функций: u ′ = 2 x + 3; | v ′ = cosx −x sinx ; |
|||||
Окончательно: | ||||||
f ¢ (x )= x cosx × (x 2 + 3x )x cos x −1 × (2x + 3)+ (x 2 + 3x )x cos x (cosx - x sinx )ln(x 2 + 3x )
Производная обратных функций.
Пусть требуется найти производную функции у = f(x) при условии, что обратная ей функцияx = g(y) имеет производную, отличную от нуля в соответствующей точке.
Для решения этой задачи дифференцируем функцию x = g(y) пох :
dy = 1 dx dx
т.е. производная обратной функции обратна по величине производной данной функции.
Пример. Найти формулу для производной функцииy=arctgx .
Функция arctgx является функцией, обратной функцииtgx , т.е. ее производная может быть найдена следующим образом:
y = tgx; | x = arctgy; | |||||||||||||||||||||||
Известно, что | y ′ = (tgx )′ = | |||||||||||||||||||||||
cos 2 | ||||||||||||||||||||||||
По приведенной выше формуле получаем: | ||||||||||||||||||||||||
y ′ = | d (arctgy) | |||||||||||||||||||||||
1/ cos 2 | ||||||||||||||||||||||||
d (arctgy) / dx | ||||||||||||||||||||||||
1 + tg 2 x = 1 +y 2 ; | ||||||||||||||||||||||||
записать | окончательную |
|||||||||||||||||||||||
cos 2 | ||||||||||||||||||||||||
формулу для производной арктангенса: | ||||||||||||||||||||||||
(arctgy) | ||||||||||||||||||||||||
1+ y 2 | (arctgx) | X 2 . | ||||||||||||||||||||||
Таким же образом получены все формулы для производных арксинуса, арккосинуса и других обратных функций, приведенных в таблице производных.
Дифференциал функции.
Пусть функция y = f(x) имеет производную в точкех :
f (x) |
|||||||
x →0 | |||||||
Тогда можно записать: | |||||||
f (x ) + α , где α→0 , прих →0. |
|||||||
Следовательно: | Dy =f | A × Dx . |
|||||
(x )× D x |
|||||||
Величина αΔx - | бесконечно малая более высокого порядка, чем f ′(x) x , |
||||||
т.е. f ′(x) x - главная часть приращения | |||||||
Определение. Дифференциалом функцииf(x) в точкех называется главная линейная часть приращения функции.
Обозначается dy илиdf(x).
Из определения следует, что dy = f ¢ (x) D x илиdy = f ′ (x)dx
Можно также записать: f ′(x ) =dy dx
Геометрический смысл дифференциала.
Из треугольника MKL: KL = dy = tg a×D x = y ¢×D x
Таким образом, дифференциал функции f(x) в точкех равен приращению ординаты касательной к графику этой функции в рассматриваемой точке.
Свойства дифференциала.
Если u = f(x) иv = g(x) ‒ функции, дифференцируемые в точке х, то непосредственно из определения дифференциала следуют следующие свойства:
1) d(u ± v) = (u± v)¢ dx = u¢ dx± v¢ dx = du± dv
2) d(uv) = (uv) ¢ dx = (u¢ v + v¢ u)dx = vdu + udv
3) d(Cu) = Cdu
vdu − udv |
|||||
Пример. Найти производную функцииy = lntg | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
sin x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y ¢ = | sin x −x cosx | sin x −x cosx | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
sin 2 x | sin 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
sin x - sinx + x cosx | x cosx | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
sin 2 x | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
sin 2 x | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример. Найти производную функцииy = arctg | 2 x4 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 - x 8 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y ¢ = | 8x 3 (1- x 8 )- (- 8x 7 )2x 4 | (1 - x 8) 2(8 x 3 - 8 x 11 + 16 x 11) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4x 8 | (1- x 8 )2 | (1 + x 8) 2(1 - x 8) 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(1 - x | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8 x 3+ 8 x 11 | 8x 3 (1+ x 8 ) | 8x 3 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(1+ x 8 )2 | (1+ x 8 )2 | 1 +x 8 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Производные и дифференциалы высших порядков.
Пусть функция f(x) ‒ дифференцируема на некотором интервале. Тогда, дифференцируя ее, получаем первую производную
y ¢ =f ¢(x ) =df (x ) dx
Если найти производную функции f ′(x) , получимвторую производную функцииf(x).
y ¢¢ =f ¢¢(x ) =d 2 f (x ) dx 2
т.е. y ′′= (y ′) ′ или | d 2 y | |||||
dx 2 | ||||||
dx dx |
||||||
n −1 | |||||||||||
n −1 |
|||||||||||
Общие правила нахождения высших производных.
Если функции u = f(x) иv = g(x) дифференцируемы, то
1) (Сu) (n) = Cu(n) ;
2) (u ± v) (n)= u (n)± v (n);
3) (u × v ) (n )= vu (n )+ nu (n −1)v ¢ + n (n − 1) u (n −2)v ¢¢ + ... + n (n − 1)...[ n − (k − 1)] u (n −k )v (k )+ ...
2! k !
Uv (n ) .
Это выражение называется формулой Лейбница.
Также по формуле d n y = f (n) (x)dx n может быть найден дифференциал n- го порядка.
Раскрытие неопределенностей.
Правило Лопиталя.
(Лопиталь (1661-1704) – французский математик)
К разряду неопределенностей принято относить следующие
соотношения:
0 ;∞ ;¥ × 0;¥ 0 ; 1∞ ;¥ - ¥ 0¥
Теорема (правило Лопиталя). Если функции f(x) и g(x)
дифференцируемы вблизи точки а, непрерывны в точке а, g′ (x) отлична от нуля вблизи а и f(a) = g(a) = 0, то предел отношения функций при х→ а равен пределу отношения их производных, если этот предел (конечный или бесконечный) существует.
f (x) | |||||||
f (x) |
|||||||
x→ ag (x ) | x→ ag ¢ (x ) |
||||||
Пример: Найти предел lim | 1 + lnx |
||||||
e x - e | |||||||
x →1 | |||||||
Как видно, при попытке непосредственного вычисления предела
получается неопределенность вида 0 . Функции, входящие в числитель
и знаменатель дроби удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.
f′ (x) = 2x + | g′ (x) = ex ; |
||
x →1 | |||||||||||||||||||||||||||||
g (x) | |||||||||||||||||||||||||||||
Пример: Найти предел lim | π − 2 arctgx . |
||||||||||||||||||||||||||||
x →∞ | |||||||||||||||||||||||||||||
f ¢(x ) = - | g ¢ (x) = e | ||||||||||||||||||||||||||||
Дифференциальное исчисление зиждется на следующих важнейших понятиях математики, определение и исследование которых составляют предмет введения в математический анализ: действительные числа (числовая прямая), функция , предел , непрерывность . Все эти понятия выкристаллизовались и получили современное содержание в ходе развития и обоснования дифференциального и интегрального исчислений. Основная идея Дифференциальное исчисление состоит в изучении функций в малом. Точнее: Дифференциальное исчисление даёт аппарат для исследования функций, поведение которых в достаточно малой окрестности каждой точки близко к поведению линейной функции или многочлена. Таким аппаратом служат центральные понятия Дифференциальное исчисление : производная и дифференциал. Понятие производной возникло из большого числа задач естествознания и математики, приводящихся к вычислению пределов одного и того же типа. Важнейшие из них - определение скорости прямолинейного движения точки и построение касательной к кривой. Понятие дифференциала является математическим выражением близости функции к линейной в малой окрестности исследуемой точки. В отличие от производной, оно легко переносится на отображения одного евклидова пространства в другое и на отображения произвольных линейных нормированных пространств и является одним из основных понятий современного нелинейного функционального анализа .
Производная. Пусть требуется определить скорость прямолинейно движущейся материальной точки. Если движение равномерно, то пройденный точкой путь пропорционален времени движения; скорость такого движения можно определить как путь, пройденный за единицу времени, или как отношение пути, пройденного за некоторый промежуток времени, к длительности этого промежутка. Если же движение неравномерно, то пути, пройденные точкой в одинаковые по длительности промежутки времени, будут, вообще говоря, различными. Пример неравномерного движения даёт тело, свободно падающее в пустоте. Закон движения такого тела выражается формулой s = gt 2 /2, где s - пройденный путь с начала падения (в метрах), t - время падения (в секундах), g - постоянная величина, ускорение свободного падения, g » 9,81 м/сек 2 . За первую секунду падения тело пройдёт около 4,9 м , за вторую - около 14,7 м , а за десятую - около 93,2 м , т. е. падение происходит неравномерно. Поэтому приведённое выше определение скорости здесь неприемлемо. В этом случае рассматривается средняя скорость движения за некоторый промежуток времени после (или до) фиксированного момента t ; она определяется как отношение длины пути, пройденного за этот промежуток времени, к его длительности. Эта средняя скорость зависит не только от момента t , но и от выбора промежутка времени. В нашем примере средняя скорость падения за промежуток времени от t до t + Dt равна
Это выражение при неограниченном уменьшении промежутка времени Dt приближается к величине gt , которую называют скоростью движения в момент времени t . Таким образом, скорость движения в какой-либо момент времени определяется как предел средней скорости, когда промежуток времени неограниченно уменьшается.
В общем случае эти вычисления надо проводить для любого момента времени t , промежутка времени от t до t + Dt и закона движения, выражаемого формулой s = f (t ). Тогда средняя скорость движения за промежуток времени от t до t + Dt даётся формулой /Dt , где Ds = f (t + Dt ) - f (t ), а скорость движения в момент времени t равна
Основное преимущество скорости в данный момент времени, или мгновенной скорости, перед средней скоростью состоит в том, что она, как и закон движения, является функцией времени t , а не функцией интервала (t , t + Dt ). С другой стороны, мгновенная скорость представляет собой некоторую абстракцию, поскольку непосредственному измерению поддаётся средняя, а не мгновенная скорость.
К выражению типа (*) приводит и задача (см. рис. ) построения касательной к плоской кривой в некоторой её точке М . Пусть кривая Г есть график функции у = f (x ). Положение касательной будет определено, если будет найден её угловой коэффициент, т. е. тангенс угла a, образованного касательной с осью Ox . Обозначим через x 0 абсциссу точки М , а через x 1 = x 0 + Dх - абсциссу точки M 1 . Угловой коэффициент секущей MM 1 равен
Операцию нахождения производной называют дифференцированием. На классе функций, имеющих производную, эта операция линейна.
Таблица формул и правил дифференцирования
Эти предложения позволяют методами Дифференциальное исчисление провести подробное исследование поведения функций, обладающих достаточной гладкостью (т. е. имеющих производные достаточно высокого порядка). Таким путём удаётся исследовать степень гладкости, выпуклость и вогнутость , возрастание и убывание функций , их экстремумы , найти их асимптоты , точки перегиба (см. Перегиба точка), вычислить кривизну кривой, выяснить характер её особых точек и т.д. Например, условие f" (x ) > 0 влечёт за собой (строгое) возрастание функции у = f (x ), а условие f" (x ) > 0 - её (строгую) выпуклость. Все точки экстремума дифференцируемой функции, принадлежащие внутренности её области определения, находятся среди корней уравнения f" (x ) = 0.
Исследование функций при помощи производных составляет основное приложение Дифференциальное исчисление Кроме того, Дифференциальное исчисление позволяет вычислять различного рода пределы функций, в частности пределы вида 0/0 и ¥/¥ (см. Неопределённое выражение , Лопиталя правило ). Дифференциальное исчисление особенно удобно для исследования элементарных функций, т.к. в этом случае их производные выписываются в явной форме.
Дифференциальное исчисление функций многих переменных. Методы Дифференциальное исчисление применяются для изучения функций нескольких переменных. Для функции двух независимых переменных z = f (х , у ) частной производной по х называется производная этой функции по х при постоянном у . Эта частная производная обозначается z" x , f" x (x , y ), ¶z/ ¶х или ¶f (x , y )/¶x , так что
Аналогично определяется и обозначается частная производная z по у . Величина
Dz = f (x + Dx , y + Dy ) - f (x , y )
называется полным приращением функции z = f (x , y ). Если его можно представить в виде
Dz = A Dx + В Dу + a,
где a - бесконечно малая более высокого порядка, чем расстояние между точками (х , у ) и (х + Dх , у + Dу ), то говорят, что функция z = f (x , y ) дифференцируема. Слагаемые А Dх + В Dу образуют полный дифференциал dz функции z = f (x , y ), причём А = z" x , = z" y . Вместо Dx и Dy обычно пишут dx и dy , так что
Геометрически дифференцируемость функции двух переменных означает существование у её графика касательной плоскости, а дифференциал представляет собой приращение аппликаты касательной плоскости, когда независимые переменные получают приращения dx и dy . Для функции двух переменных понятие дифференциала является значительно более важным и естественным, чем понятие частных производных. В отличие от функций одного переменного, для функций двух переменных существование обеих частных производных первого порядка ещё не гарантирует дифференцируемости функции. Однако, если частные производные кроме того ещё непрерывны, то функция дифференцируема.
Аналогично определяются частные производные высших порядков. Частные производные ¶ 2 f/ ¶х 2 и ¶ 2 f/ ¶у 2 , в которых дифференцирование ведётся по одному переменному, называют чистыми, а частные производные ¶ 2 f/ ¶x ¶y и ¶ 2 f/ ¶у ¶х - смешанными. Если смешанные частные производные непрерывны, то они между собой равны. Все эти определения и обозначения переносятся на случай большего числа переменных.
Историческая справка. Отдельные задачи об определении касательных к кривым и о нахождении максимальных и минимальных значений переменных величин были решены ещё математиками Древней Греции. Например, были найдены способы построения касательных к коническим сечениям и некоторым другим кривым. Однако разработанные античными математиками методы были применимы лишь в весьма частных случаях и далеки от идей Дифференциальное исчисление
Эпохой создания Дифференциальное исчисление как самостоятельного раздела математики следует считать то время, когда было понято, что указанные специальные задачи вместе с рядом других (в особенности с задачей определения мгновенной скорости) решаются при помощи одного и того же математического аппарата - при помощи производных и дифференциалов. Это понимание было достигнуто И. Ньютоном и Г. Лейбницем.
Около 1666 И. Ньютон разработал метод флюксий (см. Флюксий исчисление ). Основные задачи Ньютон формулировал в терминах механики: 1) определение скорости движения по известной зависимости пути от времени; 2) определение пройденного за данное время пути по известной скорости. Непрерывную переменную Ньютон называл флюентой (текущей), её скорость - флюксией. Т. о., у Ньютона главными понятиями были производная (флюксия) и неопределённый интеграл как первообразная (флюента). Он стремился обосновать метод флюксий с помощью теории пределов, хотя последняя была им лишь намечена.
В середине 70-х гг. 17 в. Г. Лейбниц разработал очень удобный алгоритм Дифференциальное исчисление Основными понятиями у Лейбница явились дифференциал как бесконечно малое приращение переменного и определённый интеграл как сумма бесконечно большого числа дифференциалов. Лейбницу принадлежат обозначения дифференциала dx и интеграла òydx , ряд правил дифференцирования, удобная и гибкая символика и, наконец, сам термин «дифференциальное исчисление». Дальнейшее развитие Дифференциальное исчисление шло сначала по пути, намеченному Лейбницем; большую роль на этом этапе сыграли работы братьев Я. и И. Бернулли , Б. Тейлора и др.
Следующим этапом в развитии Дифференциальное исчисление были работы Л. Эйлера и Ж. Лагранжа (18 в.). Эйлер впервые стал излагать его как аналитическую дисциплину, независимо от геометрии и механики. Он вновь выдвинул к качестве основного понятия Дифференциальное исчисление производную. Лагранж пытался строить Дифференциальное исчисление алгебраически, пользуясь разложением функций в степенные ряды; ему, в частности, принадлежит введение термина «производная» и обозначения у" или f" (x ). В начале 19 в. была удовлетворительно решена задача обоснования Дифференциальное исчисление на основе теории пределов. Это было выполнено главным образом благодаря работам О. Коши , Б. Больцано и К. Гаусса . Более глубокий анализ исходных понятий Дифференциальное исчисление был связан с развитием теории множеств и теории функций действительного переменного в конце 19 - начале 20 вв.
Лит.: История. Вилейтнер Г., История математики от Декарта до середины 19 столетия, пер. с нем., 2 изд., М., 1966; Стройк Д. Я., Краткий очерк истории математики, пер. с нем., 2 изд., М., 1969; Cantor М., Vorlesungen über Geschichte der Mathematik, 2 Aufl., Bd 3-4, Lpz. - В., 1901-24.
Работы основоположников и классиков Дифференциальное исчисление Ньютон И., Математические работы, пер. с латин., М. - Л., 1937; Лейбниц Г., Избранные отрывки из математических сочинений, пер. с латин., «Успехи математических наук», 1948, т. 3, в. 1; Л"Опиталь Г. Ф. де, Анализ бесконечно малых, пер. с франц., М. - Л., 1935; Эйлер Л., Введение в анализ бесконечных, пер. с латин., 2 изд., т. 1, М., 1961; его же, Дифференциальное исчисление, пер. с латин., М. - Л., 1949; Коши О. Л., Краткое изложение уроков о дифференциальном и интегральном исчислении, пер. с франц., СПБ, 1831; его же, Алгебраический анализ, пер. с франц., Лейпциг, 1864.
Учебники и учебные пособия по Дифференциальное исчисление Хинчин А. Я., Краткий курс математического анализа, 3 изд., М., 1957; его же, Восемь лекций по математическому анализу, 3 изд., М. - Л., 1948; Смирнов В. И., Курс высшей математики, 22 изд., т. 1, М., 1967; Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 7 изд., т. 1, М., 1969; Ла Валле-Пуссен Ш. Ж. де, Курс анализа бесконечно малых, пер. с франц., т. 1, Л. - М., 1933; Курант Р., Курс дифференциального и интегрального исчисления, пер. с нем. и англ., 4 изд., т. 1, М., 1967; Банах С., Дифференциальное и интегральное исчисление, пер. с польск., 2 изд., М., 1966; Рудин У., Основы математического анализа, пер. с англ., М., 1966.
Под редакцией С. Б. Стечкина.
Статья про слово "Дифференциальное исчисление " в Большой Советской Энциклопедии была прочитана 24920 раз
Министерство науки и образования
Кафедра "ИиВТ"
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
К курсовой работе
По предмету: Высшая математика
На тему: Дифференциальное исчисление
г. Талдыкорган 2008 год
Введение
1. Предмет математики и основные периоды ее развития. Математика представляет собой один из самых важных фундаментальных наук. Слово "математика" произошло от греческого слова "матема", что означает знания. Возникла математика на первых же этапах человеческого развития в связи с практической деятельностью людей. С самых древних времен люди, производя различные работы, встречались с необходимостью выделения и образования тех или иных совокупностей объектов, участков земли, жилищных потребностей объектов, жилищных помещений.
Во-первых, во всех этих случаях нужно было устанавливать количественные оценки рассматриваемых множеств, измерять их площади и объемы, сравнивать, вычислять, преобразовывать. По определению, данному Ф.Энгельсом:
МАТЕМАТИКА – это наука изучает количественные отношения и пространственные формы реального мира.
2. Основные математические понятия, такие как число, геометрическая фигура, функция, производная, интеграл, случайное событие и его вероятность и т.д. За свою историю математика, которая развивалась в тесной связи с развитием производственной деятельностью людей и общественной культуры, превратилась в стройную дедуктивную науку, представленную как мощный аппарат для изучения окружающего нас мира.
Академик А.Н. Калинов выделил четыре основных развития в истории математики.
Первый – период зарождения математики, начало которого лежит и теряется в глубинах тысячелетий истории человечества и продолжается до VI – V веков до нашей эры. В этом периоде создается арифметика, а также зачатки геометрии. Математические сведения этого периода состоят в основном из свода правил решения различных практических задач.
Второй период – элементарной математики, т.е. математики, постоянных величин (VI – V вв. до н.э. – XVII в. н.э.). Уже в начале этого периода (около 300 лет до н.э.) Евклид создает теорию трех книг ("Начало Евклида" - первый из дошедших до нас больших теоретических исследований по математике), в которых, в частности изучается дедуктивным образом на базе система аксиомы вся элементарная геометрия. Изданной в IX веке сочинения ал-Хорезми "Кибат ал-Джарап ал-Мукабана" содержит общие приемы решения задач, сводящие к управлению первой и второй степени. В XV веке вместо громких выражений стали употреблять знаки + и -, знаки степеней, корней, скобки. В XVI веке Ф.Виет применяет буквы для обозначения данных и не известных величин. К середине XVII века в основном сложилась современная алгебраическая символика, и этим были созданы основы формального математического языка.
Третий период – период создания математики переменных величин (XVII век – середина XIX века). Начиная с XVII века, в связи с изучением количественного отношения в процессе их изменения, на первый план выносили понятия переменной величины и функции. В этом периоде в работах Р.Декарта на базе мирового исследования метода системных координат создается аналитическая геометрия. В ра ботах И.Ньютона и Г.В.Лейбница завершает создание дифференциального интегрального исчисления.
Четвертый период – современные математики. Его начало следует относить к двадцатым годам XIX века – этот период начинается с работ Э.Гаусса, в которых заложены идеи теории алгебраических структур, В.И.Лобачевского, который открыл первую неевклидовую геометрию – геометрию Лобачевского.
В последствии дальнейшего распространения получил аксиоматический метод, в новую фазу вступили работы по обоснованию математики, математической логики и математическому моделированию. Создание в середине прошлого века ЭВМ привело не только более к глубокому и широкому применению математики в других областях знания, в технических науках, в вопросах организации и управления производством, но и зарождению развития новых областей теоретических и прикладных математических функций. Проникновения методов современной математики и ЭВМ в другие наук и практику применяет на столько всеобщий и глубокий характер, что одно из способностей нынешнего этапа развития человеческой культуры считается процесс математизации знаний и компьютеризации всех сфер трудовой деятельности и жизни людей.
3. Понятие о математическом моделировании. При изучении количественных характеристик сложных объектов, процессов явлений, пользуются методом математического моделирования, который состоит в том, что рассматриваемые закономерности формируются на математическом языке и исследуются при помощи соответствующих математических средств. Математический модуль изучаемого объекта записывается при помощи математических символов и состоит из совокупности уравнений, неравенств, формул, алгоритмов программ (для ЭВМ), в состав которых входят переменные и постоянные величины, различные операции, функции, быть может, и их производные, и другие математические понятия. Приемами составления простейших математических моделей служит хорошо известный, из курса математики средней школы, прием решения задач при помощи уравнений и систем уравнений – полученное уравнение или система уравнений является математической моделью данной задачи. Это были примеры задач с единственным решением – детерминированных задач. Однако часто встречаются задачи, имеющие много решений. В таких случаях на практике возникает вопрос о нахождении такого решения, которое является наиболее подходящим для той или иной точки зрения. Такие решения называются оптимальными решениями.
Оптимальное решение определяется как решение, для которого некоторая функция называется целевой функцией, принимает при заданных ограничениях наибольшее и наименьшее значения. Целевую функцию составляют из условия задачи, и она выражает величину, которую нужно оптимизировать (т.е. максимизировать или минимизировать), - например, получаемую прибыль, расходы, ресурсы и т.п.
Оказывается, что широкий класс, в частности задачи управления, составляют задачи в математических моделях которых условия на переменных создают неравенство или равенство. Теория и методы решения таких задач составляет раздел математики, известный под названием "Математическое программирование".
Если ограничения и целевая функция является многочисленным первой степени (линейны), то такие задачи составляют раздел математического программирования.
Математические модели больших производных систем, как правило, имеют сложную структуру. В частности, в них количество переменных и неравенств или уравнений могут насчитывать несколько десятков и даже сотен степеней имеют довольно сложный вид. Такие задачи решаются в вычислительных центрах с использованием больших вычислительных машин.
Следуя А.Н.Тихонову, в процессе решения реальных задач методом математического моделирования вычисляем следующие пять этапов:
1. Построение качественной модели, т.е. рассматривание явлений, выделение основных факторов и установление закономерностей, которые имеют место в следующем явлении.
2. Построение математической модели, т.е. перевод на язык математических состояний, установленных качественных закономерностей явлений. На этом же этапе состояния целевая функция, т.е. такая числовая характеристика переменных, наибольшему или наименьшему значению которой соответствует лучшая ситуация с точки зрения предыдущего решения.
3. Решение получаемой задачи. В связи с тем, что часто математические модели являются довольно громадными, вычисления проводятся с помощью ЭВМ в вычислительных центрах.
4. Сопоставление результатов вычислений являются неудовлетворительными, то переходят ко второму циклу процесса моделирования, т.е. повторяют этапы 1, 2, 3 с должными уточнениями информации пока не будет достигнуто удовлетворительное соглашение с имеющимися данными о модулируемом объекте.
Математические методы необходимо применять при решении крупных задач, таких как: финансовые отношения, планирование народного хозяйства, использование атомной энергией в широких целях, создание больших воздушных и космических кораблей разного назначения, обеспечение длительной работы научных экспедиций в космосе и т.д.
Однако было бы ошибочно думать, что математические методы нужны только для решения крупных задач. При изучении наук в средней школе мы встречаемся с применениями математических методов и вычислений в решении конкретных различных задач. Подобные задачи встречаются в ежедневной работе технических специалистов, экономистов, технологов. Поэтому работникам народного хозяйства, в какой бы области они не трудились, необходимо владеть основными методами исследования и приемами вычисления, устным, письменным, и машинным счетам. Специалисты должны иметь полное представление о возможностях современной ЭВМ.
В средней школе мы ознакомились с основными теориями уравнений, их систем, векторов, дифференциального и интегрального исчислениями и их применениями в решении практических задач.
Цель изучения математики в средних специальных заведениях состоит в том, чтобы углубить знания по изученным разделам и ознакомиться с некоторыми новыми разделами математики (аналитической геометрией, теорией вероятности и др.), которые обогащают общую культуру, развивает логическое мышление, широко используется в математическом моделировании задач, с которыми встречается современный специалист в своей повседневной деятельности.
Типовой учебный план
Типовой учебный план – это документ, предназначенный для реализации государственных требований к минимуму содержания и уровня подготовки выпускных учебных заведений средне специального образования. Он определяет общий перечень дисциплин, и обязательные объемы времени для их реализации, виды и минимальную продолжительность произведенной практики, примерный перечень учебных кабинетов, лабораторий и мастерских. В учебном плане также предусматривается курсовое проектирование не более чем по трем дисциплинам во весь период обучения. Виды производственной практики и их продолжительность определяется в соответствии с типовой учебной практики по заданной специальности. График учебного процесса носит рекомендательный характер и может быть откорректирован учебным заведением при обязательном соблюдении продолжительности теоретического обучения, экзаменационных сессий, а также сроков проведения зимних и завершающих учебный год летних каникул (см. таблицу 1).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ, раздел математического анализа, в котором изучаются производные, дифференциалы и их применение к исследованию функций. Дифференциальное исчисление сложилось как самостоятельная дисциплина во 2-й половине 17 века под влиянием трудов И. Ньютона и Г. В. Лейбница, в которых они сформулировали основные положения дифференциального исчисления и отметили взаимно обратный характер дифференцирования и интегрирования. С этого времени дифференциальное исчисление развивалось в тесной связи с интегральным исчислением, составляя вместе с ним основную часть математического анализа (или анализа бесконечно малых). Создание дифференциального и интегрального исчислений открыло новую эпоху в развитии математики, повлекло за собой появление ряда новых математических дисциплин (теории рядов, теории дифференциальных уравнений, дифференциальной геометрии, вариационного исчисления, функционального анализа) и существенно расширило возможности приложений математики к вопросам естествознания и техники.
Дифференциальное исчисление основывается на таких фундаментальных понятиях, как действительное число, функция, предел, непрерывность. Эти понятия приняли современный вид в ходе развития дифференциального и интегрального исчислений. Основные идеи и понятия дифференциального исчисления связаны с изучением функций в малом, т. е. в малых окрестностях отдельных точек, для чего требуется создание математического аппарата для исследования функций, поведение которых в достаточно малой окрестности каждой точки области их определения близко к поведению линейной функции или многочлена. Этот аппарат основан на понятиях производной и дифференциала. Понятие производной возникло в связи с большим числом различных задач естествознания и математики, приводящих к вычислению пределов одного и того же типа. Важнейшие из этих задач - определение скорости движения материальной точки вдоль прямой линии и построение касательной к кривой. Понятие дифференциала связано с возможностью приближения функции в малой окрестности рассматриваемой точки линейной функцией. В отличие от понятия производной функции действительной переменной, понятие дифференциала легко переносится на функции более общей природы, в том числе на отображения одного евклидова пространства в другое, на отображения банаховых пространств в другие банаховы пространства и служит одним из основных понятий функционального анализа.
Производная . Пусть материальная точка движется вдоль оси Оу, а х обозначает время, отсчитываемое от некоторого начального момента. Описание этого движения даёт функция у = f(х), ставящая в соответствие каждому моменту времени х координату у движущейся точки. Эту функцию в механике называют законом движения. Важной характеристикой движения (особенно если оно является неравномерным) является скорость движущейся точки в каждый момент времени х (эту скорость называют также мгновенной скоростью). Если точка движется по оси Оу по закону у = f(х), то в произвольный момент времени х она имеет координату f(х), а в момент времени х + Δх - координату f(х + Δх), где Δх - приращение времени. Число Δy = f(х + Δх) - f(х), называемое приращением функции, представляет собой путь, пройденный движущейся точкой за время от х до х + Δх. Отношение
называемое разностным отношением, представляет собой среднюю скорость движения точки в промежутке времени от х до х + Δх. Мгновенной скоростью (или просто скоростью) движущейся точки в момент времени х называется предел, к которому стремится средняя скорость (1) при стремлении к нулю промежутка времени Δх, т. е. предел (2)
Понятие мгновенной скорости приводит к понятию производной. Производной произвольной функции у = f(х) в данной фиксированной точке х называется предел (2) (при условии, что этот предел существует). Производную функции у = f(х) в данной точке х обозначают одним из символов f’(х), y’, ý, df/dx, dy/dx, Df(x).
Операцию нахождения производной (или перехода от функции к её производной) называют дифференцированием.
К пределу (2) приводит и задача построения касательной к плоской кривой, определяемой в декартовой системе координат Оху уравнением у = f(х), в некоторой её точке М (х, у) (рис.). Задав аргументу х приращение Δх и взяв на кривой точку М’ с координатами (х + Δх, f(х) + Δх)), определяют касательную в точке М как предельное положение секущей ММ’ при стремлении точки М’ к М (т. е. при стремлении Δх к нулю). Т. к. точка М, через которую проходит касательная, задана, построение касательной сводится к определению её углового коэффициента (т. е. тангенса угла её наклона к оси Ох). Проведя прямую МР параллельно оси Ох, получают, что угловой коэффициент секущей ММ’ равен отношению
В пределе при Δх → 0 угловой коэффициент секущей переходит в угловой коэффициент касательной, который оказывается равным пределу (2), т. е. производной f’(х).
К понятию производной приводит и ряд других задач естествознания. Например, сила тока в проводнике определяется как предел lim Δt→0 Δq/Δt, где Δq - положительный электрический заряд, переносимый через сечение проводника за время Δt, скорость химической реакции определяется как lim Δt→0 ΔQ/Δt, где ΔQ - изменение количества вещества за время Δt и, вообще, производная некоторой физической величины по времени является скоростью изменения этой величины.
Если функция у = f(х) определена как в самой точке х, так и в некоторой её окрестности, и имеет производную в точке х, то эта функция непрерывна в точке х. Пример функции у= |х|, определённой в любой окрестности точки х = 0, непрерывной в этой точке, но не имеющей производной при х = 0, показывает, что из непрерывности функции в данной точке, вообще говоря, не вытекает существование в этой точке производной. Более того, существуют функции, непрерывные в каждой точке своей области определения, но не имеющие производной ни в одной точке этой области определения.
В случае, когда функция у = f(х) определена только справа или только слева от точки х (например, когда х является граничной точкой отрезка, на котором задана эта функция), вводятся понятия правой и левой производных функции у = f(х) в точке х. Правая производная функции у = f(х) в точке х определяется как предел (2) при условии, что Δх стремится к нулю, оставаясь положительным, а левая производная - как предел (2) при условии, что Δх стремится к нулю, оставаясь отрицательным. Функция у = f(х) имеет в точке х производную тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке равные друг другу правую и левую производные. Указанная выше функция у =|х| имеет в точке х = 0 правую производную, равную 1, и левую производную, равную -1, и поскольку правая и левая производные не равны друг другу, эта функция не имеет производной в точке х = 0. В классе функций, имеющих производную, операция дифференцирования является линейной, т. е. (f(x) + g(x))’ = f’(x) + g’(x), и (αf(x))’ = αf’(x) для любого числа α. Кроме того, справедливы следующие правила дифференцирования:
Производные некоторых элементарных функций суть:
α - любое число, х > 0;
n = 0, ±1, ±2,
n = 0, ±1, ±2,
Производная любой элементарной функции снова является элементарной функцией.
Если производная f’(х), в свою очередь, имеет производную в данной точке х, то производную функции f’(х) называют второй производной функции у = f(х) в точке х и обозначают одним из символов f’’(х), y’’, ÿ, d 2 f/dx 2 , d 2 y/dx 2 , D 2 f(x).
Для материальной точки, движущейся вдоль оси Оу по закону у = f(х), вторая производная представляет собой ускорение этой точки в момент времени х. Аналогично определяются производные любого целого порядка n, обозначаемые символами f (n) (x), y (n) , d (n) f/dx (n) , d (n) y/dx (n) , D (n) f(x).
Дифференциал . Функция у = f(х), область определения которой содержит некоторую окрестность точки х, называется дифференцируемой в точке х, если её приращение в этой точке, отвечающее приращению аргумента Δх, т. е. величину Δy = f(x + Δх) - f(x) можно представить в виде Δy = AΔх + αΔх, где А = А(х), α = α(x, Δх) → 0 при Δх → 0. При этом выражение АΔх называется дифференциалом функции f(х) в точке х и обозначается символом dy или df(х). Геометрически при фиксированном значении х и меняющемся приращении Δх дифференциал есть приращение ординаты касательной, т. е. отрезок РМ" (рис.). Дифференциал dy является функцией как точки х, так и приращения Δх. Дифференциал называют главной линейной частью приращения функции, поскольку при фиксированном значении х величина dy является линейной функцией от Δх, а разность Δу - dy - бесконечно малой относительно Δх при Δх → 0. Для функции f(х) = х по определению dx = Δх, то есть дифференциал независимой переменной dx совпадает с её приращением Δх. Это позволяет переписать выражение для дифференциала в виде dy=Adx.
Для функции одной переменной понятие дифференциала тесно связано с понятием производной: для того чтобы функция у = f(х) имела в точке х дифференциал, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную f’(х), при этом справедливо равенство dy = f’(х)dx. Наглядный смысл этого утверждения состоит в том, что касательная к кривой у = f(х) в точке с абсциссой х является не только предельным положением секущей, но также и прямой, которая в бесконечно малой окрестности точки х примыкает к кривой у = f(х) теснее, чем любая другая прямая. Таким образом, всегда А(х) = f’(х) и запись dy/dx можно понимать не только как обозначение для производной f’(х), но и как отношение дифференциалов функции и аргумента. В силу равенства dy = f’(х)dx правила нахождения дифференциалов непосредственно вытекают из соответствующих правил для производных. Рассматриваются также дифференциалы второго и более высоких порядков.
Приложения
. Дифференциальное исчисление устанавливает связи между свойствами функции f(х) и её производных (или её дифференциалов), составляющие содержание основных теорем дифференциального исчисления. Среди этих теорем - утверждение о том, что все точки экстремума дифференцируемой функции f(х), лежащие внутри её области определения, находятся среди корней уравнения f’(х) = 0, и часто используемая формула конечных приращений (формула Лагранжа) f(b) - f(a) = f’(ξ)(b - a), где a<ξ
Дифференциальное исчисление функций многих переменных. Методы дифференциального исчисления применяются для исследования функций нескольких переменных. Для функции двух переменных u = f(х, у) её частной производной по х в точке М (х, у) называется производная этой функции по х при фиксированном у, определяемая как
и обозначаемая одним из символов f’(x)(x,y), u’(x), ∂u/∂x или ∂f(x,y)’/∂x. Аналогично определяется и обозначается частная производная функции u = f(x,y) по y. Величина Δu = f(x + Δx, y + Δy) - f(x,y) называется полным приращением функции и в точке М (х, у). Если эту величину можно представить в виде
где А и В не зависят от Δх и Δу, а α стремится к нулю при
то функция u = f(х, у) называется дифференцируемой в точке М (х, у). Сумму АΔх + ВΔу называют полным дифференциалом функции u = f(х, у) в точке М(х, у) и обозначают символом du. Так как А=f’х(х, у), В = f’у(х,у), а приращения Δх и Δу можно взять равными их дифференциалам dx и dy, то полный дифференциал du можно записать в виде
Геометрически дифференцируемость функции двух переменных u = f(х, у) в данной точке М (х, у) означает существование у её графика в этой точке касательной плоскости, а дифференциал этой функции представляет собой приращение аппликаты точки касательной плоскости, отвечающей приращениям dx и dy независимых переменных. Для функции двух переменных понятие дифференциала является значительно более важным и естественным, чем понятие частных производных. В отличие от функции одной переменной, для дифференцируемости функции двух переменных u = f(х, у) в данной точке М(х, у) не достаточно существования в этой точке конечных частных производных f’х(х, у), и f’у(х, у). Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции u = f(х, у) в точке М (х, у) заключается в существовании конечных частных производных f’х(х, у) и f’у(х, у) и в стремлении к нулю при
величины
Числитель этой величины получается, если сначала взять приращение функции f(х, у), отвечающее приращению Δх её первого аргумента, а затем взять приращение полученной при этом разности f(х + Δх, у) - f(х, у), отвечающее приращению Δу её вторых аргументов. Простым достаточным условием дифференцируемости функции u = f(х, у) в точке М(х, у) является существование непрерывных в этой точке частных производных f’х(х, у) и f’у(х, у).
Аналогично определяются частные производные высших порядков. Частные производные ∂ 2 f/∂х 2 и ∂ 2 f/∂у 2 , у которых оба дифференцирования ведутся по одной переменной, называют чистыми, а частные производные ∂ 2 f/∂х∂у и ∂ 2 f/∂у∂х - смешанными. В каждой точке, в которой обе смешанные частные производные непрерывны, они равны друг другу. Эти определения и обозначения переносятся на случай большего числа переменных.
Исторический очерк . Отдельные задачи об определении касательных к кривым и о нахождении максимальных и минимальных значений переменных величин были решены математиками Древней Греции. Например, были найдены способы построения касательных к коническим сечениям и некоторым другим кривым. Однако разработанные античными математиками методы были далеки от идей дифференциального исчисления и могли применяться лишь в весьма частных случаях. К середине 17 века стало ясно, что многие из упомянутых задач вместе с другими (например, задача определения мгновенной скорости) могут быть решены при помощи одного и того же математического аппарата, при использовании производных и дифференциалов. Около 1666 года И. Ньютон разработал метод флюксий (смотри Флюксий исчисление). Ньютон рассматривал, в частности, две задачи механики: задачу об определении мгновенной скорости движения по известной зависимости пути от времени и задачу об определении пройденного за данное время пути по известной мгновенной скорости. Непрерывные функции времени Ньютон называл флюентами, а скорости их изменения - флюксиями. Таким образом, у Ньютона главными понятиями были производная (флюксия) и неопределённый интеграл (флюента). Он пытался обосновать метод флюксий с помощью теории пределов, которая в то время была развита недостаточно.
В середине 1670-х годов Г. В. Лейбниц разработал удобные алгоритмы дифференциального исчисления. Основными понятиями у Лейбница являлись дифференциал как бесконечно малое приращение функции и определённый интеграл как сумма бесконечно большого числа дифференциалов. Он ввёл обозначения дифференциала и интеграла, термин «дифференциальное исчисление», получил ряд правил дифференцирования, предложил удобную символику. Дальнейшее развитие дифференциального исчисление в 17 веке шло в основном по пути, намеченному Лейбницем; большую роль на этом этапе сыграли работы Я. и И. Бернулли, Б. Тейлора и др.
Следующий этап в развитии дифференциального исчисления связан с работами Л. Эйлера и Ж. Лагранжа (18 век). Эйлер впервые стал излагать дифференциальное исчисление как аналитическую дисциплину, независимо от геометрии и механики. Он вновь использовал в качестве основного понятия дифференциального исчисления производную. Лагранж пытался строить дифференциальное исчисление алгебраически, пользуясь разложениями функций в степенные ряды; он ввёл термин «производная» и обозначения у’ и f’(х). В начале 19 века была в основном решена задача обоснования дифференциального исчисления на основе теории пределов, главным образом благодаря работам О. Коши, Б. Больцано и К. Гаусса. Глубокий анализ исходных понятий дифференциального исчисления был связан с развитием теории множеств и теории функций действительных переменных в конце 19 - начале 20 века.
Лит.: История математики: В 3 т. М., 1970-1972; Рыбников К. А. История математики. 2-е изд. М., 1974; Никольский С. М. Курс математического анализа. 6-е изд. М., 2001: Зорич В. А. Математический анализ: В 2 часть 4-е изд. М., 2002; Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа: В 3 т. 5-е изд. М., 2003-2006; Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: В 3 т. 8-е изд. М., 2003-2006; Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. 7-е изд. М., 2004. Ч. 1. 5-е изд. М., 2004. Ч. 2; Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. Х. Математический анализ. 3-е изд. М., 2004. Ч. 1. 2-е изд. М., 2004. Ч. 2; Ильин В. А., Куркина Л. В. Высшая математика. 2-е изд. М., 2005.
Материал из Юнциклопедии
Дифференциальное исчисление - это раздел анализа математического, связанный главным образом с понятиями производной и дифференциала функции. В дифференциальном исчислении изучаются правила вычисления производных (законы дифференцирования) и применения производных к исследованию свойств функций.
Центральные понятия дифференциального исчисления - производная и дифференциал - возникли при рассмотрении большого числа задач естествознания и математики, приводивших к вычислению пределов одного и того же типа. Важнейшие среди них - физическая задача определения скорости неравномерного движения и геометрическая задача построения касательной к кривой. Рассмотрим подробно каждую из них.
Будем вслед за итальянским ученым Г. Галилеем изучать закон свободного падения тел. Поднимем камешек и затем из состояния покоя отпустим его. Пусть t - время, отсчитываемое от начала падения, a s(t) - пройденное к моменту t расстояние. Галилей экспериментально нашел, что зависимость s(t) имеет следующий простой вид:
s(t) = (1/2)gt 2 ,
где t - время в секундах, а g - физическая постоянная, равная примерно 9,8 м/с 2 .
Движение свободно падающего тела явно неравномерное. Скорость v падения постепенно возрастает. Но как именно выглядит зависимость v(t)? Ясно, что, зная зависимость s(t), т. е. закон движения падающего тела, мы в принципе должны иметь возможность получить отсюда и выражение для скорости v(t) как функции времени.
Попробуем найти зависимость v от t. Будем рассуждать следующим образом: фиксируем момент t, в который мы хотим знать значение скорости v(t). Пусть h - небольшой промежуток времени, прошедший от момента t. За это время падающее тело пройдет путь, равный s(t + h) - s(t). Если промежуток времени h очень маленький, то скорость тела за время h не успевает заметно измениться, поэтому можно считать, что если h мало, то приближенно
s(t + h)-s(t) ≈ v(t) h, (1)
(s(t + h)-s(t))/h ≈ u(t) (2)
причем последнее приближенное равенство тем точнее, чем меньше h (чем ближе величина h к нулю). Значит, величину v(t) скорости в момент t можно рассматривать как предел, к которому стремится стоящее в левой части приближенного равенства (2) отношение, выражающее среднюю скорость на интервале времени от момента t до момента t + h, когда величина h стремится к нулю. Сказанное записывают в виде
v(t) = lim h→∞ (s(t + h) - s(t))/h. (2)
Проведем указанные в соотношении (3) вычисления, исходя из найденной Галилеем зависимости
s(t) = (1/2)gt 2 .
Сделаем сначала элементарные вычисления:
s(t + h) - s(t) = (1/2)g(t + h) 2 - (1/2)gt 2 = (1/2)g(t 2 + 2th + ht 2) - (1/2)gt 2 = gth + (1/2)gh 2 .;
а теперь, разделив на h, получаем
(s(t + h) - s(t))/h = gt + (1/2)gh.
Когда h стремится к нулю, второе слагаемое записанной справа суммы тоже стремится к нулю, а первое остается постоянным, точнее, не зависящим от величины h, поэтому в нашем случае
v(t) = lim h→∞ ((1/2)g(t + h) 2 - (1/2)gt 2)/h = gt,
и мы нашли закон
изменения скорости свободно падающего тела. Обратите внимание, формула (3) одновременно дает и определение, и правило вычисления значений v(t) мгновенной скорости изменения функции s(t).
Поскольку скорость v(t) сама есть функция времени, то можно было бы поставить вопрос о скорости ее изменения. В физике скорость изменения скорости называется ускорением. Таким образом, если v(t) - скорость как функЦия времени, то, рассуждая как и при выводе формулы (3), для мгновенного ускорения а (г) в момент времени t получаем выражение
a(t) = lim h→0 (v(t + h) - v(t))/4. (4)
Посмотрим, что дает эта формула для случая свободного падения, в котором, как мы вычислили, v(t) = gt:
v(t + h) - v(t) = g(t + h)-gt = gh,
(v(t + h) - v(t))/h = g,
и, поскольку g - постоянная, то из (4) получается, что a (f) = д, т. е. ускорение свободно падающего тела постоянно и величина д есть та самая физическая постоянная, которая выражает ускорение свободного падения у поверхности Земли.
Нетрудно заметить полное сходство выражений (3), (4) и понять, что мы нашли общее математическое выражение для мгновенной скорости изменения переменной величины. Конечно, результат вычислений по формулам (3), (4), как мы убедились, зависит от конкретного вида функций s(t) или v(t), но сами операции над этими функциями, которые предписываются правыми частями формул (3), (4), одни и те же.
Обобщая сделанные наблюдения, в математическом анализе уже для любой функции у=f(х) рассматривают важную величину:
f"(x) = lim h→0 (f(x + h)-f(x))/h, (5)
которую называют производной функции f.
Производная, таким образом, играет роль скорости изменения зависимой переменной у по отношению к изменению независимой переменной х; последняя теперь уже не обязана иметь физический смысл времени.
Значение производной f"(х) зависит от значения аргумента х, поэтому, как и в случае скорости, производная f"(x) некоторой функции f(х) сама является функцией переменной x.
Например, если f(x) = x 3 , то
(f(x + h) - f(x))/h = ((x + h) 3 - x 3)/h = 3x 2 + (3xh + h 2);
далее, при h, стремящемся к нулю, величина, стоящая в последних скобках, стремится к нулю, а вся правая часть при этом стремится к значению 3x 2 . Мы нашли таким образом, что если f(x) = x 3 , то f"(x) = 3x 2 .
В формуле (5) величину h разности (x + h) - х называют приращением аргумента функции и часто обозначают символом ∆x (читается: дельта икс), а разность f(x + h) - f(x) обозначают обычно через ∆f (или, более полно через ∆f(x, ∆x)) и называют приращением функции, соответствующим данному приращению аргумента. В этих обозначениях выражение (5) приобретает вид:
f"(x) = lim ∆x→0 (f(x, ∆x) - f (x))/∆x,
f"(x) = lim ∆x→0 ∆a/∆x.
Таким образом, значение f"(x) производной функции f(x) в точке x - это предел отношения приращения функции ∆f(x, ∆x), соответствующего смещению ∆x от точки x, к приращению ∆x аргумента x, когда ∆x стремится к нулю.
Операция нахождения производной функции называется дифференцированием. С физической точки зрения, как мы теперь понимаем, дифференцирование - это определение скорости изменения переменной величины.
В дифференциальном исчислении выводятся производные основных элементарных функций. Укажем, например, что производными функций x α , sin x, cos x являются соответственно функции αx α-1 , cos x и -sin x.
В дифференциальном исчислении выводятся также следующие общие правила дифференцирования:
(cf)" = cf" (вынесение постоянного множителя);
(f 1 ± f 2)" = f" 1 ± f" 2 (дифференцирование суммы и разности функций);
(f 1 f 2)" = f" 1 f 2 + f 1 f" 2 (дифференцирование произведения функций);
(f 1 /f 2)" = (f" 1 f 2 - f 1 f" 2)/f 2 2 (дифференцирование частного функций).
Наконец, справедливо также следующее важное правило дифференцирования сложной функции: если y = f(u), а u = φ(x), то производная функции f(φ(x)) равна f"(u) φ"(x), или (f(φ (x)))" =f"(φ(x)) φ"(x).
Общие законы дифференцирования существенно облегчают отыскание производных, а для любых комбинаций элементарных функций делают дифференцирование столь же доступной операцией, как и арифметические действия для человека, знающего таблицу умножения.
Например, если f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ...+ a n x n - многочлен, то f"(x) = (a 0 x 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + ... + a n x n = (a 2 x 0)" + (a 1 x 1)" + (a 2 x 2)" + ... + (a n x n) = a 0 (x 0)" + a 1 (x 1)" + a 2 (x 2)" + a n (x n)" = a 0 (0 x 0-1)" + a 1 (1 x 1-1)" + a 2 (2 x 2-1)" + a n (n x n-1)" = a 1 + 2a 2 x + ... + na n x n-1 .
Или если ψ(x) = sin x 2 , то, полагая f(u) = = sin u, u = φ(x) = x 2 , получаем, что φ(x) = f(φ(x)) и, значит, ψ"(x) = f"(u) φ"(x) = cos u 2x = 2x cos x 2 .
Мы уже отмечали, что к вычислению пределов вида (3), (4), (5), т. е., как теперь можно говорить, к вычислению производной, приводили многие задачи.
Рассмотрим теперь другой классический пример уже чисто геометрического вопроса, который решается в терминах производной,- построение касательной к кривой (см. Касательная).
Требуется построить прямую T(рис. 1), касательную в точке A к кривой - графику функции y = f(x).
Как и в случае определения мгновенной скорости, построение касательной будет сопровождаться уточнением самого понятия касательной.
Пусть (x 0 , y 0) - координаты точки A. Как известно, любая не вертикальная прямая, проходящая через точку А, задается уравнением y = y 0 + k (x - x 0), где k = (y - y 0)/(x - x 0)
так называемый угловой коэффициент прямой, характеризующий ее наклон к горизонтальной оси. В нашем случае y 0 = f(x 0), поэтому уравнение прямой, проходящей через точку A, имеет вид y = f(x 0) + k (x - x 0), и мы хотим выбрать значение коэффициента k так, чтобы прямая была как можно лучше «подогнана» к кривой y = f(x), т. е. лучше всего приближала нашу кривую в окрестности точки A. Значит, мы хотим выбрать k так, чтобы приближенное равенство f(x) ≈ f(x 0) + k (x - x 0), или, что то же самое, приближенное равенство
(f(x) - f(x 0))/(x - x 0) ≈ k,
было возможно более точным при значениях х, близких к x 0 .
Но это знакомая ситуация и, с точностью до переобозначений x - x 0 = h, x = x 0 + h, это знакомое нам отношение из формулы (5), следовательно,
k = lim x→x 0 (f(x) - f(x 0))/(x - x 0) = lim h→0 (f(x 0 + h) - f(x 0)/h (6)
Итак, найдено уравнение
y = f(x 0) + f"(x 0) (x - x 0) (7)
той прямой, которая наилучшим образом приближает кривую y =f(x) в окрестности точки (x 0 ,f(0)). Эту прямую естественно считать искомой касательной к данной кривой в рассматриваемой точке.
Например, если взять параболу y = x 2 , т. е. f(x) = x 2 , то касательная к ней в точке (1; 1) в силу (7) будет задаваться уравнением y = 1 + 2(x - 1), которое можно преобразовать к более компактному виду y = 2x - 1.
Выше мы дали физическую интерпретацию производной как мгновенной скорости, а теперь на основании уравнения касательной (7) можно дать геометрическую трактовку производной. А именно, значение f"(x 0) производной f"(x) функции f(x) в фиксированной точке х = х 0 есть угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в точке (x 0 ,f(x 0)).
Это, в частности, означает, что на участках изменения переменной x, на которых f"(x) > 0, функция f(x) возрастает; там, где f"(x) < 0, функция f(x) убывает, а в точках местных максимумов или минимумов функции ее производная должна обращаться в нуль, ибо касательная в этих точках горизонтальна. Ясно также, что если в некоторой точке x = a производная обратилась в нуль, то нельзя спешить с выводом, что это точка максимума или минимума (см. точку a 4), ибо знак производной может не измениться при переходе через эту точку, и функция будет продолжать возрастать или убывать. Но если производная меняет свой знак при переходе через эту точку (см. точки a 1 , a 2 , a 3), то ясно, что при x = a функция будет иметь или местный максимум, если идет смена знака с «+» на «-» (как в точках a 1 , a 3), или местный минимум, если знаки меняются с «-» на «+» (как в точке a 2).
Сделанные наблюдения о связи знака или нулей производной с характером монотонности (возрастанием, убыванием) функции или с ее экстремумами (максимумами, минимумами) имеют многочисленные применения.
Попробуем, например, проволокой данной длины огородить такой прямоугольный участок луга, чтобы получить возможно более просторный загон для скота, т.е. среди прямоугольников с заданным периметром 2p (т. е. среди изопериметрических прямоугольников) надо найти тот, который имеет наибольшую площадь.
Если x - длина одной из сторон прямоугольника, то при указанном условии длина другой стороны равна p - x, а площадь прямоугольника равна x (p - x). Надо найти максимальное значение функции f(x) = x(p - x) на отрезке 0 ≤ x ≤ p. Поскольку при x = 0 или x = p функция, очевидно, обращается в нуль (прямоугольник вырождается в отрезок), то максимум достигается при каком-то значении x, лежащем между 0 и p. Как найти это значение?
В соответствии со сделанным выше наблюдением максимум значений функции f(x) может быть лишь при том значении x 0 , при котором скорость изменения функции равна нулю, т. е. f"(x 0) = 0.
Найдем, используя уже проведенные ранее вычисления, производную нашей функции. Поскольку f(x) = px - x 2 , то f"(x) = p - 2x и f"(x) = p - 2x 0 = 0 при x 0 = (1/2) p. По самому смыслу задачи при найденном значении аргумента x функция должна иметь именно максимум. Это можно проверить и формально:
f"(x) > 0 при x < (1/2) p и f"(x) < 0 при x > (1/2) p.
Таким образом, мы нашли, что искомым прямоугольником с наибольшей площадью является квадрат, длина стороны которого равна (1/2) p.
Решение единым методом различных задач на отыскание максимальных и минимальных значений функций, или, как их принято называть в математике, задач на отыскание экстремумов, является одним из ранних и вместе с тем наиболее популярных и впечатляющих достижений математического анализа (см. Геометрические задачи на экстремум).
До сих пор, следуя И. Ньютону, в качестве главного понятия дифференциального исчисления мы выделяли производную. Г. В. Лейбниц, другой родоначальник математического анализа, в качестве исходного выбрал понятие дифференциала, которое, как мы увидим, логически равноценно понятию производной, но не совпадает с ним. Лейбниц нашел правила вычисления дифференциалов, равноценные правилам отыскания производных, и назвал развитое им исчисление дифференциальным. Это название и сохранилось. Рассмотренные выше примеры помогут нам достаточно быстро разобраться в следующих, на первый взгляд формальных, но очень важных определениях всего дифференциального исчисления.
Функция y = f(x) называется дифференцируемой при некотором значении х ее аргумента, если приращение ∆f = f(x + h) - f(x) этой функции, отвечающее приращению h = (x + h) - x = ∆x ее аргумента x, можно представить в виде
f(x + h) - f(x) = k(x) h + α h, (8)
где k(x) - коэффициент, зависящий только от x, а α - величина, стремящаяся к нулю при h, стремящемся к нулю.
Таким образом,
f(x + h) - f(x) ≈ k(x) h, (9)
т.е. с точностью до погрешности α h, малой в сравнении с величиной h приращения аргумента, приращение f(x + h) - f(x) дифференцируемой в точке x функции можно заменить величиной k(x) h, линейной относительно приращения h аргумента x.
Эта приближающая линейная по h функция k(x) h называется дифференциалом исходной функции f в точке x и обозначается символом df или, более полно, df(x).
В каждой точке х приближающая линейная функция k(x) h, вообще говоря, своя, что отмечено зависимостью коэффициента k(x) от x.
Поделив обе части равенства (8) на h и учитывая, что величина α стремится к нулю, когда h стремится к нулю, получаем соотношение:
lim h→0 (f(x + h) - f(x))/h, (10)
позволяющее вычислять дифференциальный коэффициент k(x) и показывающее, что он просто-напросто совпадает со значением производной f"(x) функции f(x) в точке x.
Таким образом, если функция дифференцируема в точке x, то в этой точке существует указанный в (10) предел, т.е. в ней существует производная f"(x) и k(x) = f"(x).
Обратно, если у функции f(x) в точке x есть определенная равенством (5) производная, то (f(x + h) - f(x))/h = f(x) + α,
где поправка а стремится к нулю, когда h стремится к нулю. Умножая это равенство на h, получаем
f(x + h) - f(x) - f"(x) = f"(x) h + α h, (11)
и значит, функция дифференцируема в точке x.
Итак, мы убедились, что функция имеет дифференциал df = k(x) h в том, и только в том, случае, когда она имеет производную f"(x), причем df=f"(x) h. Но дифференциал как линейная по h функция k(x) h вполне определяется коэффициентом k(x) = f"(x), поэтому отыскание дифференциала функции вполне равносильно отысканию ее производной. Вот почему обе эти операции часто называют одним термином - «дифференцирование», а исчисление называют дифференциальным.
Если вместо h писать ∆x, то вместо df= f"(x) h можно записать df=f"(x) ∆х. Если взять f(x) = x, то f"(x) = 1 и dx = 1 ∆x, поэтому вместо приращения ∆x независимой переменной часто пишут дифференциал dx. В этих обозначениях получается красивая запись df=f"(x) dx дифференциала функции, от которой Лейбниц и пришел к обозначению df/dx для производной f"(x), рассматривая последнюю как отношение дифференциалов функции и ее аргумента. Заметим, что обозначение f"(x) для производной было введено лишь в 1770 г. французским математиком Ж. Л. Лагранжем, а исходным было обозначение
df/dx или df(x)/dx
Г. Лейбница, которое во многих отношениях настолько удачно, что широко используется и по сей день.
Прежде чем показать, как дифференциал можно использовать в приближенных вычислениях, проследим его геометрическую и физическую интерпретацию.
Если в равенстве (8) вместо x написать x 0 , то можно считать, что на рис. 1 левой части равенства (8) отвечает отрезок BD (это приращение ∆f функции или приращение ординаты кривой y = f(x)), дифференциалу df=f"(x) ∆x отвечает отрезок CD (это приращение ординаты касательной, приближающей нашу кривую в окрестности точки A), а остатку α h соответствует отрезок BC, который тем меньше в сравнении с отрезком CD, чем меньше приращение ∆x аргумента. Именно это обстоятельство отражают соотношение (11) и приближенное равенство (9), означающее, что ∆f ≈ df.
На физическом языке, когда f"(x) интерпретируется как скорость в момент x, a f(x + h) - f(x) - как путь, пройденный за промежуток времени h, протекший от момента x, приближенное равенство f(x + h) - f(x) ≈ f"(x) h означает, что за малое время h скорость мало меняется, поэтому пройденный путь приближенно можно найти, как и в (1), по формуле f(x) h, выражающей равномерное прямолинейное движение с постоянной скоростью f"(x).
Равенство (11) и вытекающее из него путем переобозначений соотношение
f(x) ≈ f(x 0) + f(x 0) (x - x 0) (12)
позволяют приближенно находить значения функции f(x) в точках x, близких к некоторой точке x 0 , в которой уже известны значение f(0) самой функции и значение f"(x 0) ее производной.
Например, пусть f(x) = x α и x 0 = 1. Тогда f(1)= 1 α = 1, f"(x) = αx α-1 , f"(1) = α1 α-1 = α, поэтому, полагая x = 1 + ∆, из (12) находим следующую формулу (1 + ∆) α ≈ 1 + α ∆ для приближенных вычислений, справедливую для любых (не только целых) значений α, при условии малости величины ∆. По этой формуле
7 √1,07 = (1 + 0,07) 1/7 ≈ 1 + (1/7) 0,07 = 1,01;
√0,96 = (1 + (-0,04)) 1/2 ≈ 1 + (1/2) (-0,04) = 0,98;
(1,05) 7 = (1 + 0,05) 7 ≈ 1 + 7 0,05 = 1,35.
Важную формулу (12) можно уточнить, если привлечь производные более высоких порядков, которые мы сейчас определим.
Поскольку производная f"(x) функции f(x) сама оказывается функцией аргумента x, то можно поставить вопрос о нахождении производной функции f"(x), т.е. функции (f")"(x), которая обозначается символом f"(x) и называется второй производной исходной функции f(x). Например, если s(t) - закон движения, v(t) = s"(t) - ero скорость, a a(t)=v"(t) - ускорение, то a(t) = s"(t) есть вторая производная функции s(t). Вообще можно определить производные любого порядка: n-я производная функции есть производная от ее (n - 1)-й производной.
Для обозначения производных порядка n обычно используют символы f n (x) или d n f(x)/dx
в отличие от символов f"(x), f"(x), f""(x) употребляемых только для производных малых порядков (1, 2, 3).
Зная производные функции x α , sin x, cos x, легко проверить по индукции, что производные n-го порядка от этих функций соответственно равны
α(α - 1) ... (α - n + 1)х α-n ,
sin(x + nπ/2) , cos(x + nπ/2).
Теперь вернемся к формуле (12), в которой функция f(x) приближенно заменяется стоящим в правой части многочленом 1-й степени относительно x - x 0 . Оказывается, соотношение (12) является частным случаем общего равенства
f(x) = f(x 0) + f"(x 0)/1! (x - x 0) + ... + f (n) (x 0)/n! (x - x 0) n + r n+1 (13)
называемого формулой Тейлора, в котором о величине r n+1 , называемой остаточным членом формулы Тейлора, говорится, например, что ее можно представить в виде:
r n+1 = f n+1 (ξ)/(n+1)! (x - x 0) n+1 (14)
похожем на вид предыдущих членов формулы, но только здесь f n+1 (x) вычисляется не в точке x 0 , а в некоторой точке лежащей между x 0 и x.
Но этой информации бывает достаточно для вычислительных целей. Так, если f(x) = sin x, а x 0 = 0, то вспомнив, что
sin n (x) = sin (x + nπ/2), получаем
|r n+1 | = |sin (ξ + (n+1)π/2))/(n+1)! x n+1 | ≤ |x| n+1 /(n+1)!.
Значит, если, например, |x| ≤ 1, а n = 6, то |r 7 | < 10 -3 и потому, подставив в (13) f (k) (0) = sin(/kπ/2), находим формулу:
sinx x ≈ x - x 3 /3! + x 5 /5!, (15)
позволяющую при любом x из отрезка [-1; 1] вычислить значение sin x с точностью, не худшей, чем 10 -3 .
Можно проверить, что в рассматриваемом случае r n+1 → 0 при неограниченном увеличении n, поэтому можно предложить такую запись:
sin x = x - x 3 /3! +x 5 /5 + x 7 /7 +...+ (-1) k x 2k+1 /(2k+1)! + ... . (16)
Справа в этом равенстве стоит бесконечно много слагаемых, т.е., как говорят, имеется ряд. Равенство (16) понимается, как и вообще сумма ряда, в том смысле, что при любом значении х разность между sin x и суммой конечного числа взятых по порядку слагаемых ряда стремится к нулю, если количество слагаемых неограниченно увеличивается.
Ценность формул вида (15), (16) состоит в том, что они позволяют заменить вычисление значений сложной функции вычислением значений приближающего ее многочлена. Вычисление же значений многочлена сводится к одним арифметическим операциям, которые, например, можно выполнить на электронной вычислительной машине.
Ряд (16) является частным случаем ряда
f(x 0) + f"(x 0)/1! (x - x 0) + ... + f (n) (x 0)/n! (x - x 0) n + ... (17)
который можно написать для любой бесконечно дифференцируемой функции f(x). Он называется рядом Тейлора этой функции (Б. Тейлор (1685-1731) - английский математик). Ряд Тейлора (17) не всегда имеет своей суммой породившую его функцию f(x), поэтому вопрос о сумме ряда Тейлора каждый раз требует определенного исследования, например такого, какое мы сделали выше, оценивая величину остатка r n+1 . Такими рассуждениями можно показать, что
cos x = 1 - x 2 /2! + x 4 /4 - ... + (-1) k x 2k /(2k)! + ...
при любом значении x, а равенство
(1 + x) α = 1 + α/1! x + α(α-1)/2! x 2 + ... + (α(α-1)...(α-n+1))/n! x n + ...
имеет место при |x| < 1, если α не целое, и при любом x, если α = n - целое положительное число. Но если α = n, то α(α - 1)...(α - m) = n(n - 1)...(n - m) = 0 при m > n. Значит, при целых положительных n, в частности, получается соотношение:
(1 + x) n = 1 + n/1! x + n(n - 1)/2! x 2 + ... + (n(n - 1)...(n - n + 1))/n! x n известное в математике как бином Ньютона (см. Ньютона бином).
